競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)長(zhǎng)期動(dòng)力學(xué)性態(tài)的研究.pdf

1、本文主要研究由競(jìng)爭(zhēng)映射誘導(dǎo)的離散動(dòng)力系統(tǒng)、時(shí)間回復(fù)的非自治系統(tǒng)和自治競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的長(zhǎng)期動(dòng)力學(xué)性態(tài),主要研究工作包括如下三方面:
　　I.對(duì)于一般的競(jìng)爭(zhēng)映射建立了負(fù)載單形的存在性理論及指標(biāo)公式,并由此根據(jù)邊界不動(dòng)點(diǎn)的局部動(dòng)力學(xué)性態(tài)定義了等價(jià)關(guān)系,對(duì)三維的Leslie/Gower映射及Atkinson/Allen映射給出了等價(jià)分類.
　　首先,我們證明了一個(gè)十分容易驗(yàn)證的競(jìng)爭(zhēng)映射的負(fù)載單形存在唯一性定理,由此證明了一大類的任意維離散

2、競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)都存在負(fù)載單形,特別地,首次證明了任意維的Leslie/Gomer映射與Atkinson/Allen映射等無(wú)條件存在負(fù)載單形.
　　基于負(fù)載單形存在性理論,我們給出了3-維競(jìng)爭(zhēng)映射負(fù)載單形上的指標(biāo)和公式并研究了負(fù)載單形邊界的排斥性與吸引性,特別地,給出了離散系統(tǒng)異宿環(huán)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則.根據(jù)邊界不動(dòng)點(diǎn)局部動(dòng)力學(xué)性態(tài)我們建立了系統(tǒng)間的等價(jià)關(guān)系,并利用指標(biāo)和公式對(duì)Leslie/Gomer映射與Atkinson/Allen映射進(jìn)行了完

3、整的等價(jià)分類.它們各自都具有33個(gè)穩(wěn)定的等價(jià)類,其中第1～18類的每一條軌道都趨于一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),然而其余的15類系統(tǒng)具有相對(duì)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)性態(tài).特別地,我們重點(diǎn)研究了Neimark-Sacker分支,周期震蕩,異宿環(huán)的存在性及其穩(wěn)定性等.
　　II.對(duì)于具有相同極小擾動(dòng)內(nèi)稟增長(zhǎng)率的非自治LV系統(tǒng),建立了解的分解公式,描述其長(zhǎng)期動(dòng)力學(xué)性態(tài).
　　我們首先建立解的分解公式:對(duì)具有相同時(shí)間依賴的內(nèi)稟增長(zhǎng)率的Lotka-Volterra

4、(LV)系統(tǒng)的解可以表示為未受擾動(dòng)的自治系統(tǒng)的解與一個(gè)一維的受相同擾動(dòng)函數(shù)擾動(dòng)的非自治Logistic方程的解的乘積.由此可知,擾動(dòng)后的非自治LV系統(tǒng)將繼承自治LV系統(tǒng)的全部動(dòng)力學(xué)性態(tài).利用分解公式,我們首次給出了周期/幾乎周期擾動(dòng)的競(jìng)爭(zhēng)LV系統(tǒng)擁有擬周期解/幾乎周期解及混動(dòng)運(yùn)動(dòng)的存在性結(jié)果.基于Zeeman的nullcline分類結(jié)果,我們完整地分類出具有相同內(nèi)稟增長(zhǎng)率的3-維連續(xù)競(jìng)爭(zhēng)LV模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)的37種拓?fù)漕愋?進(jìn)而利用分解

5、公式,我們對(duì)受擾動(dòng)后的非自治競(jìng)爭(zhēng)LV模型生成的斜積流以拉回軌道的方式給出了對(duì)應(yīng)的全局動(dòng)力學(xué)性態(tài)的分類.
　　III.證明了Zeeman對(duì)3-維競(jìng)爭(zhēng)LV系統(tǒng)的nullcline分類適用于具有線性nullclines結(jié)構(gòu)的三維競(jìng)爭(zhēng)ODEs系統(tǒng).
　　我們將開(kāi)發(fā)Zeeman關(guān)于3-維競(jìng)爭(zhēng)LV系統(tǒng)的nullcline分類在更廣的三維競(jìng)爭(zhēng)Kolmogorov系統(tǒng)中的適用性.證明了具有線性nullclines結(jié)構(gòu)的三維競(jìng)爭(zhēng)Kolmogo

6、rov系統(tǒng)按照nullcline等價(jià)關(guān)系總的分成33個(gè)穩(wěn)定的nullcline等價(jià)類,其中前25類具有平凡動(dòng)力學(xué)、第27類具有異縮環(huán)、第32類不可能發(fā)生Hopf分支.通過(guò)研究Hopf分支發(fā)現(xiàn):3-維連續(xù)的競(jìng)爭(zhēng)Ricker模型和Leslie/Gower模型在26～31類均能發(fā)生Hopf分支,然而，Atkinson/Allen模型和Gompertz模型僅在第26,27類中發(fā)生Hopf分支.我們還比較各系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)之間的區(qū)別.此外,我們還給出R