基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的無(wú)網(wǎng)格法及其應(yīng)用.pdf

1、無(wú)網(wǎng)格法的初衷是為了追蹤物理量的局部高梯度變化，其顯著特征是近似場(chǎng)函數(shù)構(gòu)造不依賴(lài)于網(wǎng)格，并且數(shù)值積分網(wǎng)格與場(chǎng)函數(shù)構(gòu)造方式無(wú)關(guān)。無(wú)網(wǎng)格法在彈塑性大變形、動(dòng)態(tài)裂紋發(fā)展、沖擊碰撞、流體力學(xué)等領(lǐng)域取得了很大的成功，受到眾多研究人員重視，是計(jì)算力學(xué)的又一重要發(fā)展。 研究表明，即使在近似場(chǎng)函數(shù)有較高精度的情況下，近似場(chǎng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也會(huì)產(chǎn)生局部數(shù)值震蕩，極值點(diǎn)會(huì)發(fā)生相移。近似場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的局部震蕩和相移會(huì)對(duì)追蹤局部物理量變化產(chǎn)生不利影響，導(dǎo)致數(shù)值

2、計(jì)算結(jié)果的可靠性降低。另外，無(wú)網(wǎng)格法計(jì)算工作量大，計(jì)算效率低下，不利于大規(guī)模數(shù)值問(wèn)題求解。 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有結(jié)構(gòu)自適應(yīng)確定、輸出與初始權(quán)值無(wú)關(guān)及非線性收斂特征，徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近原理實(shí)質(zhì)是無(wú)網(wǎng)格法思想。將基于優(yōu)化思想的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法用于構(gòu)造近似場(chǎng)函數(shù)，可得到具有亞插值特性的近似場(chǎng)函數(shù)。 論文分析了產(chǎn)生近似導(dǎo)數(shù)數(shù)值局部震蕩和相移的原因，討論了影響無(wú)網(wǎng)格法計(jì)算量的因素。提出通過(guò)改進(jìn)近似場(chǎng)函數(shù)的構(gòu)造方式，提高近似場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的精度，消

3、除近似導(dǎo)數(shù)數(shù)值震蕩和相移。利用基本解降低計(jì)算維數(shù)，賦予形函數(shù)Kronecker δ函數(shù)性質(zhì)，方便施加邊界條件，減少數(shù)值計(jì)算工作量。 文中提出了兩種消除近似導(dǎo)數(shù)數(shù)值局部震蕩和相移的方法。 方法之一是將近似場(chǎng)函數(shù)和近似場(chǎng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分別看作是獨(dú)立變量，按照相同的方式分別構(gòu)造近似場(chǎng)函數(shù)和近似場(chǎng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到具有相同構(gòu)造精度的函數(shù)。通過(guò)張量積的方式產(chǎn)生二維激勵(lì)函數(shù)，構(gòu)造直接徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，依據(jù)混合變分原理建立系統(tǒng)控制方程，形成了

4、基于張量積的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無(wú)網(wǎng)格法。適當(dāng)選擇激勵(lì)函數(shù)，這種類(lèi)型的無(wú)網(wǎng)格法不需要作數(shù)值積分，只要存儲(chǔ)少量的計(jì)算基矩陣，就能在規(guī)則域上獲得高精度的數(shù)值解。對(duì)不規(guī)則域，適當(dāng)?shù)臄?shù)值處理也可求得滿意的結(jié)果。 方法之二是利用誤差在數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程中的傳播規(guī)律，構(gòu)造積分形式的激勵(lì)函數(shù)，得到高精度的近似導(dǎo)數(shù)。函數(shù)誤差在微分過(guò)程中將進(jìn)一步劣化，而在積分過(guò)程中光順鈍化。首先構(gòu)造函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，通過(guò)不定積分得到帶有權(quán)參數(shù)的新激勵(lì)函數(shù)，用積分形式的激勵(lì)函數(shù)

5、構(gòu)造間接徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，顯著地提高了場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)和場(chǎng)函數(shù)的近似精度，有效地消除了近似場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)的局部震蕩和相移現(xiàn)象。 文中采取兩種方法減少計(jì)算工作量。 第一種方法是利用間接邊界型數(shù)值方法思想，提出了無(wú)網(wǎng)格虛邊界法。邊界型數(shù)值方法通過(guò)引入基本解，降低待求問(wèn)題復(fù)雜程度，減少數(shù)值計(jì)算工作量。在無(wú)網(wǎng)格虛邊界法中，虛邊界始終不與真實(shí)邊界相交，消除了其它邊界型方法中存在的奇異積分和邊界效應(yīng)。虛邊界幾何形態(tài)簡(jiǎn)單靈活，與實(shí)邊界的間距在

6、較大范圍內(nèi)變化時(shí)，保持?jǐn)?shù)值結(jié)果穩(wěn)定收斂。無(wú)網(wǎng)格虛邊界法計(jì)算不需要真實(shí)邊界的外法線方向?qū)?shù)，不存在其它邊界型方法中必須處理的角點(diǎn)問(wèn)題。二維彈性力學(xué)的應(yīng)用表明，在無(wú)論是簡(jiǎn)單域，還是復(fù)連通域，無(wú)網(wǎng)格虛邊界法都能獲得快速穩(wěn)定的收斂結(jié)果。在物理量梯度變化較大的點(diǎn)，無(wú)網(wǎng)格虛邊界法能高精度地給出結(jié)果，準(zhǔn)確地反映出物理量的變化。 第二種方法是將邊界節(jié)點(diǎn)鄰近的激勵(lì)函數(shù)進(jìn)行線性組合，得到便于施加邊界條件的擴(kuò)展激勵(lì)函數(shù)，消除了控制方程中的邊界處理項(xiàng)，