Toric曲面幾何造型與半代數(shù)樣條研究.pdf

1、參數(shù)曲線曲面是計算機輔助幾何設計(Computer Aided Geometric Design，簡稱為CAGD)的重要研究內(nèi)容.目前，對參數(shù)曲線曲面的研究主要集中在對Bézier,B樣條與NURBS(Non-Uniform Rational B-Splines)曲線曲面的研究.Toric曲面是有理Bézier曲面的一種多邊形推廣形式，繼承了很多Bézier曲面的造型優(yōu)點.本文研究toric曲面的幾何連續(xù)條件和近似極小toric曲面的構

2、造，并將toric曲面應用到數(shù)據(jù)擬合和管道拼接中.多元樣條函數(shù)也是幾何造型的一個重要工具，常用的研究方法有光滑余因子方法，B網(wǎng)方法，B樣條方法，同調方法等.在本文中，我們利用同調代數(shù)的方法研究代數(shù)曲線剖分下的多元樣條函數(shù)空間.本文主要工作包括:
　　1.在CAGD中，參數(shù)曲面的幾何連續(xù)是一個非常重要的研究內(nèi)容.針對toric益面的幾何連續(xù)問題，我們推導toric Bernstein基函數(shù)的一階和二階偏導性質，證明當提升函數(shù)滿足提升

3、準則時，toric曲面沿邊界處的一階和二階偏導在toric退化的過程中保持不變，并由此給出toric曲面的一階幾何連續(xù)和曲率連續(xù)的充要條件.通過指定特殊的提升函數(shù)，使得toric曲面沿邊界區(qū)域退化為張量積型或三角型的有理Bézier曲面.由有理Bézier曲面的一階幾何連續(xù)和曲率連續(xù)的已知結果，給出toric曲面基于控制結構幾何關系的一階幾何連續(xù)和曲率連續(xù)的充分條件，并給出了一些具體構造的實例.
　　2.極小曲面研究中的一個著名問

4、題是求解Plateau問題，即以給定的邊界閉曲線為條件，求解極小曲面.在實際應用中，已知的邊界往往是多邊的，我們結合toric曲面的參數(shù)域是任意凸多邊形，由此考慮Plateau-toric問題，使用Dirichlet泛函代替能量泛函求解，得到近似極小toric曲面的一個構造方法，并通過實例驗證了方法的可行性.
　　3.擬合數(shù)據(jù)點集并重構曲面是幾何造型中研究的一個重要問題.由于toric曲面是一種多邊參數(shù)曲面，我們使用toric曲面

5、擬合數(shù)據(jù)點集并重構曲面，當點集的參數(shù)域為凸多邊域時，無需對點集的參數(shù)域進行剖分，即可得到一個整體擬合的多邊參數(shù)曲面.其次，構造多管道的過渡曲面在模具設計，工業(yè)零部件制造等領域有著廣泛應用.借助幾何連續(xù)條件，我們使用兩片toric曲面來構造多管道的過渡曲面.通過這兩個應用，可以看出toric曲面不僅保持了有理Bézier曲面構造簡單，形狀可調等優(yōu)點，而且參數(shù)域為任意的凸多邊形，可減少造型中曲面片的個數(shù)，避免了多片曲面間的拼接問題.

6、　　4.幾何造型中的一個重要研究對象是多元樣條函數(shù)，而同調代數(shù)是研究多元樣條函數(shù)的一種有效工具.我們推廣線性剖分下的多元樣條函數(shù)的同調方法到任意代數(shù)曲線剖分下的多元樣條函數(shù).由Bezout定理可知，2條n次代數(shù)曲線最多可相交于n2個點，本文使用同調代數(shù)的方法討論了構成剖分的N條n次代數(shù)曲線相交于1個點和n2個點的情況.利用交換代數(shù)和toric退化的相關理論分別證明了這兩種剖分下的多元樣條模空間與線性剖分下的多元樣條?？臻g的關系，分析了這