基于偏微分方程的圖像分割和腫瘤生物醫(yī)學(xué)建模研究.pdf

1、偏微分方程是反映有關(guān)的未知變量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間制約關(guān)系的等式。許多領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型都可以用偏微分方程來(lái)描述，很多重要的物理、力學(xué)等學(xué)科的基本方程本身就是偏微分方程。早在微積分理論剛形成后不久，人們就開(kāi)始用偏微分方程來(lái)描述、解釋或預(yù)見(jiàn)各種自然現(xiàn)象，并將所得到的研究方法和研究成果運(yùn)用于各門(mén)科學(xué)和工程技術(shù)中，顯示了偏微分方程對(duì)于人類(lèi)認(rèn)識(shí)自然界基本規(guī)律的重要性。逐漸地，以物理、力學(xué)等各門(mén)科學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題為背景的偏微分方程的

2、研究成為傳統(tǒng)應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)最主要的內(nèi)容，它直接聯(lián)系著眾多自然現(xiàn)象和實(shí)際問(wèn)題，不斷地提出和產(chǎn)生出需要解決的新課題和新方法，不斷地促進(jìn)著許多相關(guān)數(shù)學(xué)分支（如泛函分析、微分幾何、計(jì)算數(shù)學(xué)等）的發(fā)展，并從它們之中引進(jìn)許多有力的解決問(wèn)題的工具。偏微分方程已經(jīng)成為當(dāng)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的組成部分，是純粹數(shù)學(xué)的許多分支和自然科學(xué)及工程技術(shù)等領(lǐng)域之間的一座重要的橋梁。
　　 本論文主要討論偏微分方程這一強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具在圖象分割和生物醫(yī)學(xué)建模領(lǐng)域

3、的應(yīng)用。
　　 在圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺(jué)中，基于偏微分方程的方法已經(jīng)成為研究的熱點(diǎn)。一方面它得益于偏微分方程作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，已經(jīng)形成了理論體系和數(shù)值方法;另一方面也得益于傳統(tǒng)的圖像處理技術(shù)所積累的經(jīng)驗(yàn)。在過(guò)去的十幾年里，偏微分方程被廣泛應(yīng)用于不同的圖像處理領(lǐng)域:圖像分割、放大、超分辨率分析、修復(fù)、銳化、去噪、運(yùn)動(dòng)物體輪廓跟蹤等等。
　　 在圖象分割領(lǐng)域，偏微分方程的應(yīng)用開(kāi)始于上世紀(jì)八十年代末——Kass等人提出

4、了以偏微分方程為基本形式的活動(dòng)輪廓模型，從動(dòng)力學(xué)角度來(lái)研究曲線的演化過(guò)程，通過(guò)求解偏微分方程得到圖像感興趣區(qū)域的邊界。在接下來(lái)的三十年里，隨著該模型的迅速發(fā)展，活動(dòng)輪廓模型逐漸成為最有生機(jī)、最成功的圖像分割技術(shù)之一，之后它衍生出各種不同特點(diǎn)的模型，如幾何模型、活動(dòng)曲面、形變氣球、形變輪廓、形變曲面等等。在所有活動(dòng)輪廓模型中，本論文主要研究了兩種經(jīng)典幾何模型的基礎(chǔ)理論和改進(jìn)——基于邊緣信息的測(cè)地活動(dòng)輪廓模型(GAC)和基于區(qū)域信息的C-V

5、模型，這兩種模型都對(duì)以后的圖像分割產(chǎn)生了巨大的影響，但是由于這兩種模型各自的缺點(diǎn)，其應(yīng)用范圍都受很大限制。因此，本論文在圖象分割方面的研究工作主要是，分別針對(duì)這兩種經(jīng)典的活動(dòng)輪廓模型，GAC模型和C-V模型，進(jìn)行了改進(jìn)，使得改進(jìn)后的模型有更廣的應(yīng)用和更好的分割效果。
　　 偏微分方程不僅僅能夠在圖像分割領(lǐng)域發(fā)揮作用，這一強(qiáng)大的數(shù)學(xué)理論工具也被應(yīng)用到生物醫(yī)學(xué)工程領(lǐng)域。生物醫(yī)學(xué)工程是在電子學(xué)、微電子學(xué)、現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)，化學(xué)、高分子化

6、學(xué)、力學(xué)、近代物理學(xué)、光學(xué)、射線技術(shù)、和精密機(jī)械發(fā)展的基礎(chǔ)上，在與醫(yī)學(xué)結(jié)合的條件下發(fā)展起來(lái)的。它包含的研究方向很多，比如生物系統(tǒng)建模與仿真、生物醫(yī)學(xué)信號(hào)檢測(cè)與分析、生物醫(yī)學(xué)成像和圖像處理、電磁場(chǎng)生物效應(yīng)、人工器官以及相關(guān)的醫(yī)療儀器研制等。本論文即利用偏微分方程的數(shù)學(xué)理論、多種物理學(xué)理論和計(jì)算機(jī)技術(shù)，研究了兩種與腫瘤密切相關(guān)的生物系統(tǒng)的建模與仿真。
　　 腫瘤是威脅人類(lèi)生命的重要?dú)⑹种?。它生長(zhǎng)旺盛，常呈持續(xù)性生長(zhǎng)，惡性腫瘤更是無(wú)

7、限制地向外周擴(kuò)散，侵犯要害器官和引起衰竭，最后導(dǎo)致人死亡。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，研究和分析腫瘤的方法越來(lái)越多樣化。目前，對(duì)于腫瘤研究的熱點(diǎn)主要在于(1)研究腫瘤的生長(zhǎng)趨勢(shì);(2)研究腫瘤藥物傳遞的過(guò)程和效果，這兩方面知識(shí)的獲得對(duì)于腫瘤生長(zhǎng)機(jī)理的認(rèn)識(shí)和理解，以及對(duì)于腫瘤的診斷和治療具有科學(xué)的和現(xiàn)實(shí)的意義。
　　 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論研究表明，影響腫瘤生長(zhǎng)的微環(huán)境因素多種多樣，腫瘤的生長(zhǎng)是一個(gè)復(fù)雜的變化過(guò)程，受到腫瘤細(xì)胞與細(xì)胞，細(xì)胞與基質(zhì)之

8、間相互作用的影響，同時(shí)腫瘤細(xì)胞間壓強(qiáng)以及營(yíng)養(yǎng)濃度的分布等因素都將直接影響腫瘤的生長(zhǎng)變化。同樣地，對(duì)于腫瘤內(nèi)部的藥物傳遞過(guò)程，腫瘤內(nèi)部復(fù)雜的微結(jié)構(gòu)和微環(huán)境，以及藥物本身的特性都將對(duì)藥物傳遞的分布和結(jié)果產(chǎn)生作用和影響。因此，僅僅依靠傳統(tǒng)的臨床和實(shí)驗(yàn)方法，已經(jīng)不足以充分說(shuō)明影響腫瘤生長(zhǎng)的各種因素與腫瘤生長(zhǎng)趨勢(shì)之間的相關(guān)性，以及腫瘤內(nèi)部復(fù)雜環(huán)境與藥物注射傳遞過(guò)程的相關(guān)性。在這種情況下，應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理理論，結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)，將各種影響腫瘤生長(zhǎng)和藥物

9、傳遞的因素綜合考慮，建立可靠的腫瘤生長(zhǎng)趨勢(shì)模型和腫瘤內(nèi)部藥物傳遞模型，對(duì)于獲得腫瘤生物學(xué)過(guò)程的知識(shí)，以及優(yōu)化腫瘤藥物治療方案都將有著特殊的意義。因此，本論文中在生物醫(yī)學(xué)建模方面的工作主要是，應(yīng)用基于偏微分方程的數(shù)學(xué)物理方法，研究了腫瘤生長(zhǎng)趨勢(shì)和腫瘤內(nèi)部藥物傳遞過(guò)程這兩個(gè)生物系統(tǒng)的建模和仿真。
　　 本論文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)有:
　　 1.在基于偏微分方程的圖像分割方面，首先，以實(shí)現(xiàn)人腦部矢狀位海馬體結(jié)構(gòu)的分割為目的，對(duì)基于邊緣

10、信息的GAC模型進(jìn)行了改進(jìn)。通過(guò)分析GAC模型曲線演化的行為，將先驗(yàn)區(qū)域力和先驗(yàn)形狀力合理地添加到原始GAC模型中，實(shí)現(xiàn)了先驗(yàn)知識(shí)對(duì)曲線演化的有效約束——先驗(yàn)區(qū)域力指導(dǎo)曲線快速演化進(jìn)入分割目標(biāo)所在區(qū)域;先驗(yàn)形狀力指導(dǎo)曲線在先驗(yàn)區(qū)域中更加精確的實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的分割。在將其應(yīng)用到人腦部矢狀位海馬體結(jié)構(gòu)的分割的仿真實(shí)驗(yàn)中，取得了良好的分割效果，證明了添加先驗(yàn)知識(shí)的GAC模型的有效性。
　　 2.以基于圖像區(qū)域的C-V模型為原始模型，在分析一

11、種改進(jìn)C-V模型——局部二值擬合(LBF)模型行為的基礎(chǔ)上，應(yīng)用高斯混合模型(GMM)和粒子群優(yōu)化(PSO)算法實(shí)現(xiàn)更為快速和有效的局部分布擬合模型。無(wú)論是基于全局信息的C-V模型還是改進(jìn)的基于局部信息的LBF模型，其目標(biāo)區(qū)和背景區(qū)的擬合灰度分布值都是隨著曲線演化需要不斷更新的，因此在改進(jìn)的局部分布擬合模型中，我們應(yīng)用GMM模型來(lái)預(yù)先估計(jì)圖像目標(biāo)區(qū)和背景區(qū)的擬合灰度分布函數(shù)，并應(yīng)用PSO算法優(yōu)化GMM模型的計(jì)算過(guò)程。這就使得目標(biāo)區(qū)和背景

12、區(qū)的擬合灰度分布函數(shù)不再依賴于曲線的演化，而是在曲線演化之前就已經(jīng)得到。仿真實(shí)驗(yàn)證明我們改進(jìn)后的模型使得曲線演化的速度更快，結(jié)果更精確。
　　 3.在腫瘤生長(zhǎng)趨勢(shì)建模方面，通過(guò)綜合考慮腫瘤細(xì)胞間粘著能量，細(xì)胞速度，細(xì)胞間壓強(qiáng)，腫瘤內(nèi)部質(zhì)量交換，以及營(yíng)養(yǎng)濃度分布等多個(gè)因素，以符合質(zhì)量守恒定律的對(duì)流-擴(kuò)散-反應(yīng)方程和符合流體力學(xué)的對(duì)流-擴(kuò)散方程為基礎(chǔ)，建立了一種描述腫瘤生長(zhǎng)趨勢(shì)的離散-連續(xù)混合型數(shù)學(xué)模型，并給出了詳細(xì)的數(shù)值實(shí)現(xiàn)方案。

13、仿真實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析證明了本論文所構(gòu)建的腫瘤生長(zhǎng)模型能夠演化腫瘤向外生長(zhǎng)擴(kuò)張的趨勢(shì)，并能夠根據(jù)營(yíng)養(yǎng)濃度的變化等條件演化出相應(yīng)的結(jié)果，模擬出腫瘤生長(zhǎng)過(guò)程中出現(xiàn)的突起結(jié)構(gòu)，是符合實(shí)際腫瘤生長(zhǎng)的基本模式的。
　　 4.在腫瘤內(nèi)部藥物傳遞建模方面，以流體力學(xué)中表達(dá)動(dòng)量守恒定律的納維-斯托克斯方程為主體，并結(jié)合連續(xù)方程和對(duì)流-擴(kuò)散方程，構(gòu)建了腫瘤內(nèi)部藥物傳遞過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。為了突顯腫瘤環(huán)境特性對(duì)藥物傳遞的影響，我們把腫瘤環(huán)境視為一種多孔性組

14、織，從質(zhì)量、動(dòng)量和藥物濃度守恒的本質(zhì)考慮，將可以表達(dá)腫瘤環(huán)境多孔性結(jié)構(gòu)的孔隙參數(shù)合理地添加到了連續(xù)方程、N-S方程和對(duì)流-擴(kuò)散方程中，同時(shí)考慮了由這種多孔性結(jié)構(gòu)帶來(lái)的摩擦力作用。為了突顯藥物自身特性對(duì)藥物傳遞的影響，我們以實(shí)際的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)，認(rèn)為藥物會(huì)滯留于流體的運(yùn)動(dòng)，因此將藥物和流體分開(kāi)考慮，用表達(dá)藥物流動(dòng)和流體流動(dòng)速度的關(guān)系式來(lái)區(qū)分流體和藥物，這就使得我們的模型會(huì)隨著藥物的不同而發(fā)生變化，更加突顯藥物特性對(duì)藥物傳遞分布結(jié)果的影響。