離散動(dòng)力系統(tǒng)混沌理論.pdf

1、混沌(chaos)是非線性科學(xué)研究的中心內(nèi)容之一，是非線性動(dòng)力系統(tǒng)中普遍存在的一種運(yùn)動(dòng)形式，它廣泛地存在于自然界，諸如物理、化學(xué)、生物學(xué)、地質(zhì)學(xué)，以及工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)等各領(lǐng)域．一般而言，混沌是指在確定性的系統(tǒng)中，不需要附加任何隨機(jī)因素亦可出現(xiàn)的類似隨機(jī)的動(dòng)力學(xué)行為(內(nèi)在隨機(jī)性)．混沌系統(tǒng)的最大特點(diǎn)就在于系統(tǒng)的演化對(duì)初始條件十分敏感．因此，從長(zhǎng)期意義上講，系統(tǒng)的行為是不可預(yù)測(cè)的． 混沌科學(xué)是隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，尤其是在計(jì)

2、算機(jī)技術(shù)的出現(xiàn)和普遍應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的新興交叉學(xué)科．混沌突破了不同學(xué)科之間的界線，是涉及系統(tǒng)總體本質(zhì)的一門新興科學(xué)．著名物理學(xué)家J．Ford認(rèn)為混沌是20世紀(jì)物理學(xué)中繼量子力學(xué)和相對(duì)論之后的第三次革命． 盡管科學(xué)界對(duì)混沌已經(jīng)認(rèn)真地研究了近半個(gè)世紀(jì)，但是至今還沒有一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)定義．這是因?yàn)榛煦缦到y(tǒng)非常復(fù)雜，從不同的角度理解會(huì)有不同的內(nèi)涵．對(duì)離散動(dòng)力系統(tǒng)，數(shù)學(xué)上常用的混沌定義包括：Li-Yorke意義下混沌[67]、Devan

3、ey意義下混沌及Wiggins意義下混沌．對(duì)連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)，數(shù)學(xué)上常用的混沌定義為Smalle馬蹄意義下混沌[105]．物理和工程上常用的混沌判據(jù)是其有界性并存在正的Lyapunov指數(shù)或正的拓?fù)潇兀话阏J(rèn)為，混沌具有如下一些主要特征：確定性、有界性、對(duì)初值的極端敏感依賴性、長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性、正的最大Lyapunov指數(shù)、無限寬頻功率譜和遍歷性等. 從混沌的研究方向來看，混沌的研究大體上可以分為四個(gè)方面；混沌判定(criteria

4、of chaos)、混沌控制(control of chaos)、混沌反控制(或混沌化)(anti-control of chaos或chaotification)和混沌同步(synchronization of chaos)．其中，后三種混沌研究都屬于廣義混沌控制的范疇．從混沌動(dòng)力學(xué)自身發(fā)展邏輯看，確定性混沌的研究大體上經(jīng)歷了三個(gè)階段：一是從有序到混沌，研究混沌產(chǎn)生的條件、機(jī)制和途徑；二是混沌中的有序，研究混沌的普適性、統(tǒng)計(jì)特征及分形

5、結(jié)構(gòu)等；三是從混沌到有序．在這種意義下，可以認(rèn)為控制混沌的研究標(biāo)志著混沌研究進(jìn)入了一個(gè)新的階段，控制混沌是混沌理論走向應(yīng)用的第一步．控制混沌可以在混沌有害時(shí)消除混沌，在混沌有益時(shí)產(chǎn)生混沌。 在混沌判定方面，目前已取得了許多豐碩的成果.例如，對(duì)連續(xù)的區(qū)間映射，有Li-Yorke得到的"周期3蘊(yùn)含混沌"[67]，以及非2次冪周期、紊亂、正的拓?fù)潇氐染墚a(chǎn)生Li-Yorke意義下混沌[10]等；對(duì)高維映射，有著名的Marotto定理[

6、79，99]，減弱條件下的返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)理論(snap-back repeller)[103]，以及林偉和陳關(guān)榮最近建立的異宿擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)理論(heteroclinical repellers)等；對(duì)一般Banach空間和完備度量空間中的離散系統(tǒng)，有史玉明、陳關(guān)榮和郁培建立的耦合擴(kuò)張理論和返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)理論[98-103]，以及我們剛剛建立的連接擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)異宿環(huán)理論[68]等.對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的混沌判定，有著名的Shilnikov定理[96，9

7、7]和馬蹄理論[105]，以及判斷馬蹄存在的Melnikov方法[73，821等. 在混沌控制方面，當(dāng)混沌有害時(shí)，就要設(shè)法消除它們.目前已經(jīng)取得了許多有效消除混沌的控制方法.例如， OGY法、偶然正比反饋技術(shù)(簡(jiǎn)稱OPF技術(shù))、脈沖控制、滑?？刂啤⒕€性和非線性控制、自適應(yīng)控制等[19，24，36，124，125].當(dāng)混沌有益時(shí)，進(jìn)行混沌反控制以產(chǎn)生混沌.對(duì)離散系統(tǒng)混沌反控制的研究已經(jīng)取得了巨大成功.陳關(guān)榮和賴德健對(duì)有限維離散系統(tǒng)

8、(它可以是線性的或非線性的)提出并發(fā)展了狀態(tài)反饋控制混沌反控制方法[15-17].最近，史玉明、郁培和陳關(guān)榮把狀態(tài)反饋控制方法推廣到了一般Banach空間中[101].有關(guān)離散系統(tǒng)混沌反控制的歷史和發(fā)展現(xiàn)狀見[21，23].對(duì)連續(xù)系統(tǒng)混沌反控制，情況變得非常復(fù)雜，但是也取得了一定的進(jìn)展.例如，楊玲等研究了具有極限環(huán)的連續(xù)系統(tǒng)的反控制問題[121]，陳關(guān)榮等研究了Lorenz系統(tǒng)族的反控制問題[24]，汪小帆等證明通過時(shí)滯反饋控制方法可以

9、使最小相位系統(tǒng)變成混沌系統(tǒng)[117].自1990年，L.M.Pecora和T.L.Carrcoll首次提出混沌同步的概念和方法后[86]，關(guān)于混沌同步的研究也取得了重大進(jìn)展.研究者們發(fā)現(xiàn)在某些情況下，混沌同步是有益的.例如，混沌同步在保密通訊中的應(yīng)用已取得了重大進(jìn)展[36].目前，已經(jīng)取得了許多混沌同步的方法.例如，Pecora-Carroll提出的驅(qū)動(dòng)一響應(yīng)法、脈沖同步法、線性和非線性反饋同步法、耦合同步法、連續(xù)變量微擾法、自適應(yīng)控制

10、法及噪聲感應(yīng)同步法等[24，36，124，125]. 近年來的大量研究工作表明，混沌與工程技術(shù)的聯(lián)系愈來愈密切.混沌在生物工程、力學(xué)工程、電子工程、化學(xué)工程、信息工程、計(jì)算機(jī)工程等領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用[19，20，22].混沌的其它潛在應(yīng)用包括大腦神經(jīng)活動(dòng)和心臟脈搏測(cè)量分析、圖像數(shù)據(jù)加密、保密通信、電力電網(wǎng)動(dòng)態(tài)分析和保護(hù)、工程和民用電子儀器噪聲消減、電子震蕩發(fā)生器設(shè)計(jì)、航天和航空發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)分析和保護(hù)、流體混合、信息儲(chǔ)存和高速檢

11、索、決策預(yù)測(cè)、系統(tǒng)和模式識(shí)別、機(jī)械震動(dòng)故障診斷、計(jì)算機(jī)圖像處理，以及在醫(yī)學(xué)和生物、信號(hào)處理和通信、控制系統(tǒng)和優(yōu)化等越來越多的領(lǐng)域和方向．由于物理學(xué)、控制理論、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)和邊緣科學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，研究者們提出了許多由差分方程描述的具體數(shù)學(xué)模型．例如，著名的蟲口模型-Logistic映射中會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象．而許多用連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)描述的問題，也可將它們離散化．例如，采用常微分方程的Poincaré映射方法或微分方程的數(shù)值計(jì)算格式

12、，將它們化為某種差分方程．差分系統(tǒng)的一些定性性質(zhì)將為分析原微分系統(tǒng)的性質(zhì)提供一些有用的信息．因而，對(duì)差分方程的混沌研究不論在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上都具有重要的意義． 本文主要研究離散動(dòng)力系統(tǒng)混沌判定和混沌反控制兩方面的問題．本文由四章組成，主要內(nèi)容如下： 第一章概述了混沌研究的進(jìn)展，給出了一些預(yù)備知識(shí)，其中包括幾個(gè)數(shù)學(xué)上常用的混沌定義，以及動(dòng)力系統(tǒng)中的一些基本概念，并回顧了目前已經(jīng)取得的關(guān)于離散動(dòng)力系統(tǒng)混沌判定的一些研究

13、成果． 第二章首先在一般的度量空間中給出了連接不動(dòng)點(diǎn)異宿環(huán)的概念，并給出了它的兩種分類：正則和奇異；非退化和退化．然后又給出了連接擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)異宿環(huán)的概念．這個(gè)概念可以看作是林偉和陳關(guān)榮在文[70]中在歐氏空間中定義的異宿擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)在一般度量空間中的推廣．利用史玉明、陳關(guān)榮和郁培建立的耦合擴(kuò)張理論[98-103]，我們建立了在一般完備度量空間和任意有界閉集為緊集的度量空間中離散系統(tǒng)的幾個(gè)混沌判定定理，并證明這些系統(tǒng)是在Devane

14、y和Li-Yorke意義下混沌．我們的結(jié)果要強(qiáng)于林偉和陳關(guān)榮的結(jié)果[70]．特別地，我們?cè)谌我庥薪玳]集為緊集的度量空間中建立了一條在Li-Yorke意義下混沌的判定定理，它是由連接擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)和鞍點(diǎn)異宿環(huán)導(dǎo)致的．最后，把我們的方法用到一般Banach空間和歐氏空間中，也得到了一些在Devaney和Li-Yorke意義下混沌的判定定理．另外，本章還給出了三個(gè)二維映射的例子，并給出了計(jì)算機(jī)仿真． 第三章主要研究一類時(shí)滯差分方程中不動(dòng)點(diǎn)

15、的穩(wěn)定性和混沌判定問題．首先把時(shí)滯差分方程轉(zhuǎn)化為高維的常差分系統(tǒng)，并引入一些基本概念．然后研究了方程中不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性條件，建立了一個(gè)混沌判定定理，并證明方程是在Devaney和Li-Yorke意義下混沌．最后討論了兩類特殊時(shí)滯差分方程中不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性和混沌判定問題．另外，本章還給出了兩個(gè)時(shí)滯差分方程的例子，并給出了分岔圖． 第四章主要研究離散動(dòng)力系統(tǒng)的混沌反控制問題．利用第二章中建立的連接擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)異宿環(huán)導(dǎo)致混沌的判定定理以及狀