廣義測度空間上的模糊度量及其收斂問題研究.pdf

1、廣義測度（包含非可加測度和模糊測度）作為模糊集理論的一個分支，最早形成于20世紀70年代，它與廣義積分是經(jīng)典測度與積分的延拓，與調和分析、微分方程、差分方程和最優(yōu)化理論有著緊密聯(lián)系，同時在多準則決策、信息集成、模式識別和回歸分析等方面也有著廣泛應用.模糊度量空間理論是模糊拓撲學中的一個重要組成部分.近十年來基于三角模的模糊度量理論備受關注.學者們在完備化、收斂、緊致性、一致連續(xù)、不動點等方面取得一系列漂亮的結果.另外，模糊度量空間理論還

2、與廣義測度、Domain理論、圖像處理等結合繁衍出許多新的研究課題.
　　收斂問題是測度論和拓撲學中的核心問題，而利用度量理論研究測度的收斂問題，更是拓撲測度研究的重要領域，也是拓撲學與測度論密切聯(lián)系的重要體現(xiàn).本文主要研究廣義測度與模糊度量之間的聯(lián)系，通過在廣義測度空間上構造模糊度量，研究廣義測度空間上的收斂問題及其在廣義測度擴張上的應用.因此，本文研究結果將進一步豐富和完善廣義測度理論和模糊度量理論，并為廣義測度論的應用提供更

3、為堅實的理論基礎.
　　本文以關注度較高的兩類廣義測度（可分解測度和模糊測度）為研究對象，主要圍繞以下三個問題展開研究:(1)廣義測度與模糊度量相互誘導的方法;(2)廣義測度空間與模糊度量空間性質的相互刻畫;(3)應用上述結果研究廣義測度空間上的收斂、擴張等問題.全文共六章，主要研究工作分四個部分:
　　第一部分研究可分解測度空間上的廣義度量.在可測集上定義一個等價關系，并在其構造的商集上誘導一個廣義度量;討論所誘導的廣義度

4、量空間的連續(xù)性、完備性等性質;研究所構造的廣義度量空間與σ-⊥-可分解測度空間性質的相互刻畫.研究發(fā)現(xiàn)，σ-⊥-可分解測度空間上的μ-可分性、無原子的性質在廣義度量空間中可以得到有效刻畫.
　　第二部分研究模糊測度空間上的模糊度量.通過在模糊可測空間上定義模糊可測集的模糊度量，探討所構造的模糊度量空間與在模糊可測空間上構造的模糊測度空間之間性質的相互刻畫.沿用第一部分的研究思路，基于給定的模糊測度，通過在模糊可測集上構造等價類，并

5、在其商集上定義模糊度量;討論所構造的模糊度量的完備性、連續(xù)性等性質;證明了模糊測度空間的無原子性質在所構造的模糊度量空間上可以很好地刻畫.結論表明，當t-模取min時，經(jīng)典結果可以在模糊背景上得到推廣.
　　第三部分研究可分解測度擴張的廣義偽度量方法.應用第一部分的研究結果，給出σ-⊥-可分解測度從A到S(A)上的擴張，即為所誘導的廣義偽度量空間上子集的閉包.研究廣義偽度量方法擴張與σ-⊥-可分解測度完備化以及Carathédor

6、y擴張之間的關系.結果表明，利用廣義偽度量方法的σ-⊥-可分解測度擴張與σ-⊥-可分解測度的完備化以及Carathédory擴張結果是一致的，但是廣義偽度量方法更加直觀、有效.
　　第四部分研究可分解測度空間上的Vitali-Hahn-Saks定理.應用第一部分的研究結果討論可分解測度序列的集合式收斂問題.利用廣義度量空間上的Baire定理等重要結論，證明可分解測度空間上的Vitali-Hahn-Saks定理，Nikodym定理.