數(shù)學(xué)教學(xué)中的算法問題.pdf

1、一一一一一一一一一一一一一hktIhil7V689745數(shù)學(xué)教學(xué)中的算法問題研究生:韓澄指導(dǎo)教師:王晶聽專業(yè):課程與教學(xué)論數(shù)學(xué)摘要:算法是數(shù)學(xué)的一個(gè)不可分離的組成部分計(jì)算機(jī)理論及應(yīng)用的快速發(fā)展為算法提出了更高的要求從數(shù)學(xué)教育角度來看學(xué)習(xí)者如何透過數(shù)學(xué)深刻地思考算法的內(nèi)在機(jī)理進(jìn)而更好地把握它.如何從算法的角度思考數(shù)學(xué)誤程的改革是數(shù)學(xué)教育實(shí)踐必須認(rèn)真考慮的司題.在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中算法占有極為重要的地位.現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育改革對(duì)算法作為課程內(nèi)容又提

2、出了新的要求它影響著數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的變化及數(shù)學(xué)課程設(shè)置算注教學(xué)將使我們對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的雙墓訓(xùn)練、思維訓(xùn)練有新的認(rèn)識(shí)及思考關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)教學(xué)算法數(shù)學(xué)課程引言算法是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，它對(duì)數(shù)學(xué)以及計(jì)算機(jī)的發(fā)展都起了極為重要的作用，所謂算法，就是針對(duì)一個(gè)或一類數(shù)學(xué)問題的解決而設(shè)計(jì)的有限條規(guī)則，按這此規(guī)則機(jī)械地進(jìn)行運(yùn)算，可以在有限步內(nèi)完成算法過程、給出答案.旱在公元前二世紀(jì)，中國(guó)以及希哈的數(shù)學(xué)家們就己經(jīng)開始尋求各類數(shù)學(xué)問題的算法，得到了泊多價(jià)值極人

3、的結(jié)T.比如乘法的九)L歌訣，求兩個(gè)代數(shù)式的最人公閃式的輾轉(zhuǎn)相除法等相當(dāng)多的一些算法，已纖形成了固有的模式，成為數(shù)學(xué)的一個(gè)不可分離的組成部分.算法使人類運(yùn)用機(jī)械門七幫助人們計(jì)算成為可能、計(jì)算機(jī)的I、泛運(yùn)用就是明證.然而，計(jì)算機(jī)埋論及應(yīng)用的快速發(fā)展為算法提出了史高的要求，使得算法迅速形成一個(gè)形式上與汁算科學(xué)密切相關(guān)而與數(shù)學(xué)若即若離的分支，它的數(shù)學(xué)本質(zhì)被隱藏起來.從數(shù)學(xué)教育角度來石，算法與數(shù)學(xué)上體游離開了，其結(jié)果.學(xué)習(xí)者不能透過數(shù)學(xué)深刻地思

4、考算法的內(nèi)在機(jī)理進(jìn)而更好地把握它，也限制了計(jì)算機(jī)一這一時(shí)代的卜員在數(shù)學(xué)傳播中的應(yīng)用.因此，如何讓在數(shù)s教育中從數(shù)學(xué)主體游離開的算法丙理所當(dāng)然地作為數(shù)學(xué)土體的一個(gè)有機(jī)織i戊部分，白然是數(shù)學(xué)教育實(shí)踐必須認(rèn)真考慮的問題.本文將對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的算法問題進(jìn)行一些深入的探討在第_部分，我們回NO并分析數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中算法的地位及作用，以及現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育改革對(duì)算法作為課程內(nèi)容的要求.第下部分，我們討論算法作為數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)課程設(shè)置的影響及對(duì)

5、策.在第四部分中，我們討論算法教學(xué)與雙基訓(xùn)練、思維訓(xùn)練的關(guān)系.在最后的總結(jié)I數(shù)學(xué)教學(xué)中的算法問題種不同的籌算方法都有基本的變換法則和固定的演算程序.例如“方程”這一籌式是以偏乘、直除(累減)為基本變換，而“方程術(shù)”則是反復(fù)施行這兩種基本變換而逐個(gè)消兒法求解的演算程序.中國(guó)占代數(shù)學(xué)家還善J幾運(yùn)用演算和對(duì)稱性、循環(huán)性等特點(diǎn)，將演算程序設(shè)計(jì)得十分簡(jiǎn)捷、巧妙.開方術(shù)、割圓術(shù)、增乘開方法、人衍求一術(shù)等在籌算程序的設(shè)計(jì)為面都達(dá)到很高的水平斷7i，并

6、符合現(xiàn)代科學(xué)if法語言的要求.秦九韶在《數(shù)(5九章》中設(shè)計(jì)了一個(gè)求解所有“人衍類”(即線性同余方程全田問題的一般程序一大衍總數(shù)術(shù).劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”是一種典141的循環(huán)算法過程.“招差術(shù)”、‘。L〔負(fù)開方術(shù)”等許多算法的程序都符合現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的算法要求，l:有機(jī)械化、一般性和有效性，有些算法(術(shù))的等算程序.都可翻譯成現(xiàn)代算法語言，按照計(jì)算機(jī)程序輸入計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算.歲州如柔把中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)’。計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)比，則可以認(rèn)為算等相當(dāng)于電Y計(jì)算機(jī)

7、，是一個(gè)“便件”，而‘.術(shù)”足一種“軟件’‘，，叮以比做電子計(jì)算機(jī)的計(jì)算的程序設(shè)計(jì)‘。r6國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中‘軟釗’思想非常突出，叮以說中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)土要是配合和適應(yīng)’硬什’的前提I`發(fā)展起來的.”2.另外，《九章算術(shù)》中對(duì)開平方、開立方的機(jī)械化運(yùn)算過程和宋兀時(shí)期利用增乘開方法與I[負(fù)開方術(shù)來求高次代數(shù)方程的數(shù)值解，其機(jī)械化算法也達(dá)到很高的水平.劉徽《九章算術(shù)注》中解線性聯(lián)立方程組有多種機(jī)械的消去法和詳細(xì)的機(jī)械算法過程.如果把劉徽注的說明列成圖

8、表與高斯消兀法解線性方程織的圖表進(jìn)行比較兒乎沒有羊別.秦九韶《數(shù)弓九章》中許多繁雜算題術(shù)文后部附有詳細(xì)演草，數(shù)值解力程步驟就t整套統(tǒng)一的機(jī)械化算法機(jī)械化思想極其鮮明.例如，人衍求一術(shù)是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)構(gòu)造性與機(jī)械化思想方法的典范，秦九韶‘人衍總數(shù)術(shù)”是討論多個(gè)次同余式的聯(lián)立求解問題，原理是‘4中國(guó)剩余定理”.根據(jù)這一定理，‘人衍總數(shù)術(shù)’‘的演算程序分為兩人部分:第部分是問題的標(biāo)準(zhǔn)化，將問數(shù)(模數(shù))分為元數(shù)、收數(shù)、通數(shù)和復(fù)數(shù)四種，每種都附有相

9、應(yīng)的算法，稱做“格”.然后分別ut給出各類問數(shù)求定數(shù)(定母)的化約方法秦兒韶所設(shè)計(jì)的求定數(shù)演算兒乎達(dá)到統(tǒng)一的機(jī)械化算法的要求.第_部分是按剩余定理演算的程序，這相當(dāng)于同余式組的求解.秦九韶通過引進(jìn)一系列專門術(shù)語井利用種機(jī)械化算法來實(shí)現(xiàn)(即人衍求一術(shù))秦九韶的人衍術(shù)包含著算法程序設(shè)1的11多纂木方法和技巧，多次運(yùn)用了“循環(huán)程序”，包括求定數(shù)、求乘率等“子程序”(人衍求術(shù)就足求乘率的子程序)，和現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)的程序設(shè)計(jì)在原理上是相通的.如果

10、仿照現(xiàn)代程序a計(jì)的記號(hào)和圖式，把秦九韶大衍術(shù)算法澤成程序框圖.它們有著驚人的相似.現(xiàn)代程序設(shè)計(jì)中的基本原理、方法和技巧，差不多都可以在秦九韶的算法中找到如秦九韶求一種格的算法，類似于現(xiàn)代計(jì)算機(jī)程序中的子程序:在化約問數(shù)時(shí)，給侮個(gè)數(shù)一個(gè)代號(hào)即所謂‘號(hào)位”仁所置的數(shù)字可依中間運(yùn)算結(jié)果而變化，這種“號(hào)位”類似于計(jì)算機(jī)中的存儲(chǔ)元，適用于機(jī)械化的運(yùn)算.eI構(gòu)造性與算法機(jī)械化的數(shù)學(xué)看作是可以直接施用之于現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué).中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，總的說來，就是