與[f(n)]互素的自然數(shù)的個(gè)數(shù).pdf

1、1953年,G.L.Waston利用篩法證明了如下結(jié)論：對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)α,令滿足(n,[αn])=1的自然數(shù)的密度為δ(α).當(dāng)α為無(wú)理數(shù)時(shí),有δ(α)=6/π2.當(dāng)α為有理數(shù)時(shí),設(shè)α=a/q,這里(a,q)=1,q＞0,則δ(n)的值只依賴于q,此時(shí)δ(α)=q-1∑u-1Φ(u)6/π2(q→∞).1999年在布達(dá)佩斯舉行的主題為“Paul Erdos和他的數(shù)學(xué)”的會(huì)議上,一本名為《Some of Paul’s favorite pr

2、oblems》的小書廣為流傳.類似于G.L.Waston的文章[1],在文[2]中,Delmer和Deshouillers證明了如下結(jié)果：設(shè)c＞0是一個(gè)非整數(shù)實(shí)數(shù),則滿足(n,[nc])=1的自然數(shù)的密度為6/π2.這一結(jié)論對(duì)上述書中由Moser，Lambek和Paul Erdos所提出的問(wèn)題134給出了一個(gè)肯定的答案.
　　設(shè)x是一個(gè)充分大的實(shí)數(shù),令Nc(x)表示不超過(guò)x且滿足(n,[nc])=1的自然數(shù)n的個(gè)數(shù),則上述定理可以

3、重述為：Nc(x)=6/π2x+o(x).當(dāng)01時(shí),文[2]用到了篩法思想,因此用文[3]的方法很難改進(jìn)上面式子中的余項(xiàng)估計(jì)o(x)。
　　后來(lái),翟文廣在文[4]利用指數(shù)和方法證明了如下結(jié)果：Nc(x)=6/π2x+O(x(1+λ+2ck)/(2+2k

4、)+ηx2-clogx,這里,c>1,(κ,λ)是滿足λ+(2c-2)κ<1的指數(shù)對(duì).當(dāng)12時(shí),η=0.
　　本文研究了與[nc1],[nc2]互素的自然數(shù)的個(gè)數(shù),這里1　　定理1設(shè)x是一個(gè)充分大的實(shí)數(shù),1

5、δ=δ(c1,c2)>0成立.
　　令n>1為整數(shù),a為整數(shù).若存在整數(shù)x使得a2x≡a(mod n),并稱a模n正則.令(ρ)(n)表示滿足1≤a≤n的模幾正則的整數(shù)a的個(gè)數(shù).L.Toth[11]證明了∑(n≤x)ρ(n)/φ(n)=Bx+O(log2x)，這里B=π2/6≈1.6449.
　　設(shè)r≥1是固定整數(shù).在本文第二部分,我們研究函數(shù)(ρ(n)/φ(n))r的均值.我們有：
　　定理2設(shè)r≥1是固定整數(shù),則有