數(shù)論函數(shù)F(n)、Catalan數(shù)的同余性質(zhì).pdf

1、本文我們主要做了兩項工作，第一項工作研究了Erd(o)s一篇論文中數(shù)論函數(shù)F（n）的性質(zhì);第二項工作推廣了Hsueh-Yung Lin有關(guān)Catalan數(shù)的一個結(jié)果.具體如下:
　　1.對正整數(shù)n（n≥2），正整數(shù)組(a1，a2，…，as)滿足如下條件:(i)(a1，a2，…，as)中元素兩兩互素，(ii)對任意i∈{1，2，…，s}，有2≤ai≤n，且若素數(shù)p|ai，則p|n.記所有這樣的數(shù)組構(gòu)成集合R(n)，定義F（n）為形如

2、a1+…+as的數(shù)的最大值，其中(a1，a2，…，as)∈R（n）.
　　1983年，Erd(o)s證明了對任意正整數(shù)k，都存在某個正整數(shù)nk，滿足F(nk)=nk和ω(nk)=k，其中ω（nk）表示nk的不同素因子個數(shù).
　　在Erd(o)s相關(guān)結(jié)論的基礎(chǔ)上，我們得到了如下結(jié)論:
　　對任意正整數(shù)k及充分大正數(shù)x，有#{0＜n≤x:F（n）=n，ω（n）=k}≥(1+o(1))kk/2k-1x/logkx.
　

3、　2.記第n個Catalan數(shù)為Cn:=（2n）!/（（n+1）!n?。?，2011年，Hsueh-Yung Lin得出了Catalan數(shù)的一個同余性質(zhì):對任意正整數(shù)k≥2，Catalan數(shù)C21-1，C22-1，…，C2k-1-1模2k兩兩不同余，但從第k-1項開始，數(shù)列(C2n-1)n≥1模2k是同余的.
　　我們將他的結(jié)論由模2k推廣到模一般的素數(shù)冪pk，結(jié)論如下:
　　記p為一個奇素數(shù)，a，k為滿足0≤a＜p和k＞0的