組合中的逆向超對(duì)數(shù)凹序列.pdf

1、這篇論文主要研究了一些組合多項(xiàng)式的對(duì)數(shù)凹性質(zhì)和逆向超對(duì)數(shù)凹性質(zhì)。包括錯(cuò)排多項(xiàng)式的對(duì)數(shù)凹性質(zhì)的組合證明，波洛斯一莫爾多項(xiàng)式的逆向超對(duì)數(shù)凹性質(zhì)，與波洛斯一莫爾多項(xiàng)式相關(guān)的一個(gè)多項(xiàng)式的逆向超對(duì)數(shù)凹性質(zhì)和q-對(duì)數(shù)凸性質(zhì)，歐拉差分表的2-對(duì)數(shù)凹性質(zhì)和它的2一進(jìn)數(shù)賦值問題。在第一章中，我們介紹了單峰序列、對(duì)數(shù)凹序列、實(shí)根序列、超對(duì)數(shù)凹序列以及q-對(duì)數(shù)凸序列的定義、研究背景和歷史，并且介紹了關(guān)于這些組合性質(zhì)的幾個(gè)重要定理。同時(shí)我們定義了逆向超對(duì)數(shù)凹序

2、列。在第二章中，我們給出了關(guān)于錯(cuò)排多項(xiàng)式的對(duì)數(shù)凹性質(zhì)的一個(gè)組合證明。證明的主要思想借鑒了伽西歐和博納用組合的方法證明歐拉多項(xiàng)式的對(duì)數(shù)凹性質(zhì)的思路。我們先構(gòu)造了一個(gè)雙射，將錯(cuò)排序列與滿足一定限制條件的帶標(biāo)號(hào)的格路一一對(duì)應(yīng)起來，然后利用格路的幾何性質(zhì)，構(gòu)造了一個(gè)合適的單射。利用同樣的方法，我們還得到了錯(cuò)排多項(xiàng)式的交錯(cuò)對(duì)數(shù)凹性質(zhì)。在第三章中，我們得到了關(guān)于波洛斯一莫爾序列{d(m))o≤i

3、要思想是：利用遞推關(guān)系式，將要證明的目標(biāo)不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于di(m+1)/di(m)的一元二次不等式。卡沃斯和保羅在[57]中給出了di(m+1)/di(m)的一個(gè)上界。我們先給出了di(m+1)/di(m)的一個(gè)下界，然后證明在這個(gè)由上下界組成的區(qū)間內(nèi)，要證明的一元二次不等式成立。接著，我們研究了與波洛斯一莫爾序列有關(guān)的一個(gè)序列{Ai(m)}o≤i≤m，其中A(m)=ilm12mdi(m)。我們證明了{(lán)A(m))是對(duì)數(shù)凹序列和逆向超對(duì)數(shù)

4、凹序列，并且證明了它對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式序列具有q-對(duì)數(shù)凸性質(zhì)。在第四章中，我們研究了歐拉差分表的幾個(gè)組合性質(zhì)。我們首先證明了它是二階對(duì)數(shù)凹序列。證明的主要思路是：將目標(biāo)不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元三次不等式f(x)>0。為了證明這個(gè)不等式，我們先給出了f的定義域；通過分析f的導(dǎo)數(shù)，我們證明了f在定義域上嚴(yán)格單調(diào)遞減；然后我們證明，在定義域的右端點(diǎn)上嚴(yán)格大于0，因此證明了f在其定義域上大于0，這就證明了歐拉差分表是2-對(duì)數(shù)凹序列。此外，我們證明了歐拉差