雙二項模型下的破產(chǎn)概率研究.pdf

1、　　風(fēng)險模型理論, 是保險精算數(shù)學(xué)中重要的研究內(nèi)容, 在國外已經(jīng)有上百年的研究歷史, 早在1986年, 北美精算學(xué)會出版的由Newton L. Bower, Hans U. Gerber, James C. Hickman, Donald A. Jones, Cedil J. Nesbitt等五人編著的《精算數(shù)學(xué)》一書中就專門討論過離散時間的保險風(fēng)險模型(見[1]).眾所周知, 經(jīng)典離散風(fēng)險模型的盈余模型為
　

2、　
　　(1.1)其中為時刻時的初始盈余, 為單位時間內(nèi)常數(shù)率收取的保險費, 表示第次理陪量, 表示時期以前的總理賠次數(shù), 表示保險公司在前個時期內(nèi)的總理陪量. Gerber[2, 3]和Shiu[4]在80年代末期對這一經(jīng)典模型做了大量研究.國內(nèi)成世學(xué), 伍彪[9], 朱仁棟[11]也對完全離散經(jīng)典風(fēng)險模型進(jìn)行了深入探討, 得到了最終破產(chǎn)概率、破產(chǎn)前一刻的盈余和破產(chǎn)赤字的概率律的遞推解、變換解與顯式解,還對

3、任意的初始盈余值導(dǎo)出了最終破產(chǎn)概率的一個Lundberg型上界. 孫立娟,顧嵐[10], 王黎明,金珩[27], 龔日朝, 李鳳軍[26, 28]等對經(jīng)典風(fēng)險模型進(jìn)行了推廣, 使保費收取次數(shù)為服從Possion分布的隨機變量, 給出了破產(chǎn)概率公式和不等式. 楊善朝[12]在復(fù)合二項風(fēng)險模型下得到了破產(chǎn)概率的近似計算. 吳榮, 杜勇宏[20], 孫立娟, 顧嵐[21]則在經(jīng)典模型的基礎(chǔ)上卷入利率, 得到了該模型下的破產(chǎn)概率, 破產(chǎn)時余額分

4、布以及破產(chǎn)前瞬間余額分布的級數(shù)展開式和積分方程.當(dāng)保費收取次數(shù)和每一份保單收取的保險費均為隨機變量時, 鄒輝, 朱勇華[17]對個別理賠量和每份保單收取保費均服從指數(shù)分布的特殊情形證明了破產(chǎn)概率的不等式.此外, 孫立娟, 顧嵐[10, 13]還在破產(chǎn)概率的隨機模擬方面做了大量工作. <；WP=4>；本文主要在復(fù)合二項模型基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣使之成為雙二項情形, 使保費收取是一個服從某一離散分布的隨機變量：
　　
　　(1.

5、2)其中把經(jīng)典模型(1.1)中第二項的推廣為, 它表示保險公司在時間內(nèi)收取的保險單總數(shù).為了證明需要文中做如下假設(shè)： (1)個別理賠量序列是獨立同分布的正隨機變量序列, 其中與同分布, 的分布函數(shù)為, (2)為總理賠次數(shù)過程, 對任意；(3)為保險單總數(shù)過程, 對任意, (4) , 是兩個相互獨立的二項過程, 且與相互獨立；(5)為了保證保險公司能穩(wěn)定經(jīng)營, 要求.對該模型定義破產(chǎn)時間為, 則破產(chǎn)發(fā)生的概率定義為主

6、要結(jié)論定理 3.2 對有且,其中為滿足方程的調(diào)節(jié)系數(shù). <；WP=5>；定理4.1 在模型的基本假設(shè)下, 對, 破產(chǎn)概率滿足其中定理 5.1 記, 則在條件下, 有.定理 5.2 在條件下, 有,當(dāng)時 定理 6.2 令 <；WP=6>；則.定理 7.1 當(dāng)索賠額為僅取正整數(shù)的隨機變量時, 令；其余, 則保險公司最終破產(chǎn)概率為當(dāng)為了讓模型更具一般性, 對上述模型進(jìn)一步推廣, 假設(shè)保單到達(dá)時收取的保費不再為常數(shù),