S4(1)中常數(shù)量曲率的完備極小超曲面.pdf

1、對(duì)于S4(1)中具有常數(shù)量曲率的連通緊致極小超曲面M3，我們通過對(duì)主曲率的重?cái)?shù)分類討論，已經(jīng)知道具有常數(shù)量曲率的連通緊致極小超曲面M3的數(shù)量曲率R為0，3，6。并且極小超曲面M3一定是等參超曲面。因此，我們可以對(duì)于S4(1)中具有常數(shù)量曲率的連通緊致極小超曲面M3進(jìn)行分類，并且知道極小曲面M3一定為赤道球面，Clifford極小超曲面，Caftan極小超曲面之一。
　　 本文先在S4(1)中具有常數(shù)量曲率的完備連通極小子流形M3

2、的Gauss-Kronecker曲率處處不為0的情況下，討論極小子流形M3的數(shù)量曲率的取值情況。我們結(jié)合局部分析的方法和廣義強(qiáng)極值原理，采用對(duì)一些幾何量取極限的方法來討論。首先，我們對(duì)于主曲率在任取點(diǎn)處的極限值的重?cái)?shù)進(jìn)行討論，排除了一些不利于分析的情況，并證明了在完備連通極小子流形M3的Gauss-Kronecker曲率處處不為0，且M3的數(shù)量曲率小于3情況下，M3的三個(gè)主曲率的極限值必互不相同。在此種情形下，我們將△算子作用在一些函數(shù)

3、上，可以得到Gauss-Kronecker曲率的極限取值為0。進(jìn)一步，我們可以用參數(shù)把主曲率的極限值表示出來，根據(jù)參數(shù)的取值得出第二基本形式二階導(dǎo)數(shù)極限的取值。最后，我們利用廣義強(qiáng)極值原理得出的結(jié)論，來分析參數(shù)的取值，得出數(shù)量曲率的取值。因此，我們論證了當(dāng)S4(1)中具有常數(shù)量曲率的完備連通極小子流形M3的Gauss-Kronecker曲率處處不為0時(shí)，M3的數(shù)量曲率一定為0或3。
　　 更進(jìn)一步，我們考慮S4(1)中具有常數(shù)量

4、曲率的完備連通極小子流形M3的普遍性質(zhì)。在完備極小子流形的情況下，我們?cè)噲D推廣緊致極小子流形上的一些結(jié)果。對(duì)完備的極小子流形，我們先運(yùn)用廣義強(qiáng)極值原理，對(duì)極小流形M3上的一些幾何量取極限，將問題轉(zhuǎn)化成對(duì)于這些極限值的估計(jì)。在對(duì)于這些幾何量的極限值進(jìn)行估計(jì)的過程中，我們運(yùn)用了類似局部分析的方法，討論分析了M3上第二基本形式二階導(dǎo)數(shù)極限的取值。在此過程中，將第二基本形式二階導(dǎo)數(shù)極限的取值問題簡化成線性方程的解的問題。通過對(duì)第二基本形式二階導(dǎo)