結(jié)構(gòu)動力學直接積分法的多項式顯式表示形式研究_李卓根

1、 結(jié)構(gòu)動力學直接積分法的多項式顯式表示形式研究 結(jié)構(gòu)動力學直接積分法的多項式顯式表示形式研究? 李卓根 陳 璞 （北京大學工學院力學與工程科學系，100871） 摘要 結(jié)構(gòu)動力學常用的的直接積分方法主要有顯式中心差分法和隱式 Newmark-β法。這類方法在求解中，一般每一個時間步都需要用到結(jié)構(gòu)中所有自由度的響應(yīng)。在實際工程應(yīng)用中，有時只需要關(guān)注某些特定自由度的響應(yīng)。已有的文獻資料提出了一種多項式的顯式表示形式，將各時刻響應(yīng)表示為

2、激勵向量的多項式形式，系數(shù)矩陣可只存儲關(guān)鍵自由度對應(yīng)行，節(jié)省了存儲空間。本文進一步推導了顯式中心差分法、隱式 Newmark-β法、顯式Newmark 法和顯隱式 Newmark 預(yù)測-校正格式的多項式表示形式。該形式可有效節(jié)省系數(shù)矩陣的存儲空間，但前處理計算量偏大，有待進一步改善。 關(guān)鍵詞：動力分析，時程響應(yīng)，直接積分法，多項式 一、 引言 求解動力學方程 ? ? ? ?? ? Mx Cx Kx F (1) 的經(jīng)典直接積分法主

3、要有顯式中心差分法和隱式 Newmark-β 法。在步進積分的過程中，所有自由度的響應(yīng)都會用于之后時間步的計算。但在實際工程應(yīng)用（如結(jié)構(gòu)動力可靠性 計算）中，我們只需要關(guān)注某些關(guān)鍵自由度的響應(yīng)。若將各時刻響應(yīng)表示為初始響應(yīng)向量和各時刻激勵向量的多項式（系數(shù)矩陣與所研究結(jié)構(gòu)的信息、積分方法的參數(shù)、積分 時間步長有關(guān)）顯式表示形式[1]，則在求解時不需要存儲系數(shù)矩陣中的全部元素，可以節(jié)省存儲空間。 二、 一些積分方法的多項式顯式表示形式

4、2.1 概述 概述 文獻[1]給出了基于狀態(tài)方程和精細積分法， 在零初始條件下各時刻響應(yīng)的顯式多項 式表示形式，文獻[2]給出了滯后系統(tǒng)利用精細積分法和隱式 Newmark-β 法的多項式遞推迭代形式。 基于這兩篇文獻的思路， 本文給出線性系統(tǒng)下中心差分法、 隱式 Newmark-β 法、顯式 Newmark 法（翟方法）和顯隱式 Newmark 法結(jié)合的預(yù)測-校正格式四種方法的多項式顯式表示形式。 如未特殊說明，下文中的 t ?

5、均為積分時間步長，位移、速度、加速度、激勵向量下標表示對應(yīng)時間步的值， E 為單位矩陣。 2.2 中心差分法的多項式表示形式 中心差分法的多項式表示形式 ? 本文得到國家重點研發(fā)計劃（編號: 2018YFC0809700）、科學挑戰(zhàn)專題，編號：TZ2018002 和國家自然科學基金創(chuàng)新群體資助項目 （11521202 多功能復(fù)合材料與結(jié)構(gòu)力學）資助。 中心差分法對第 i 個時間步的假設(shè)如下： 顯式 Newmark 法對第 i+1 個時間

6、步的假設(shè)如下[3]： ? ? ? ? 2 2 1 1 1 1 1 2 , 1 i i i i i i i i i t t t t t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? x x x x x x x x x(9) 通過求解式(1)和式(9)，可以得到顯式 Newmark 法的關(guān)鍵迭代步驟： 1 1 1 ? i i ?? ? ? ?? x M P(1

7、0) 其中? ? ? ?1 1 0 1 2 1 3 4 12 2 0 1 2 3 4? ( ) ( ), 1 2 , , 1 , i i i i i i i i i b b b b bb t b t b t b t b t ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ?? ?? P F K x x x x C x x x

8、 。 通過計算可得多項式顯式表示形式 1 2 0 0 1 0 3 1 3 1 2 , 1 k k k k k k k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? U T U T G P T G P T G P G P(11) 其中 0 0 12 2 1 2 2 2 1 2 11 1 1 1 2 32 2 2 0 3 00 2 0 32 2 2 3 1 2 0 1 3 1 2 4 2 4 3, 0 , 1, , ( 2) (

9、 2), T T T T T T i i iT T T T T T T T k k k k k k kikt b tb bb b b b bb b? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?; V x x U V VU V V x x x xD M D M K D M

10、CE D E D T D E DD D E D E D T T D D1 22 3 2 3 3 2 1 1 22 1 1 2 2 1 1 0 1 2 3 1 2 1 4 1 0 11 2 1 2 3 2 1 2 1 2 2 1 2, ( 2) , , , 1, , k k kb bb b t k b b b ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

11、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 00T T T D E D T T T TD F D D Q Q Q , P D F D DQ Q G G G TG G T Q T Q Q Q(12) 2.5 預(yù)測 預(yù)測-校正法的多項式表示形式 校正法的多項式表示形式 文

12、獻[3]還提出了將顯式 Newmark 法和隱式 Newmark-β 法結(jié)合的預(yù)測-校正格式， 具 體步驟為： （1）預(yù)測： ? ?? ?2 2 , 1 1, 1 11 21p i i i i ip i i i it t tt t? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ?? ??x x x x xx x x x（2）計算： 1 , 1 1 , 1 , 1 (

13、 ) p i i p i p i ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? x M F Kx Cx（3）校正： ? ?? ?2 2 1 , 11 , 11 21i i i i p ii i i p it t tt t? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ?? ??x x x x xx x x x（3）計算： 1 1 1 1 1 ( ) i i i i ?