利用根軌跡分析系統(tǒng)性能

1、4.4 4.4 利用根軌跡分析系統(tǒng)性能 利用根軌跡分析系統(tǒng)性能 利用根軌跡， 可以定性分析當系統(tǒng)某一參數(shù)變化時系統(tǒng)動態(tài)性能的變化趨勢， 在給定該參數(shù)值時可以確定相應的閉環(huán)極點，再加上閉環(huán)零點，可得到相應零、極點形式的閉環(huán)傳遞函數(shù)。本節(jié)討論如何利用根軌跡分析、估算系統(tǒng)性能，同時分析附加開環(huán)零、極點對根軌跡及系統(tǒng)性能的影響。 4.4.1 利用閉環(huán)主導極點估算系統(tǒng)的性能指標 如果高階系統(tǒng)閉環(huán)極點滿足具有閉環(huán)主導極點的分布規(guī)律， 就可以忽略

2、非主導極點及偶極子的影響，把高階系統(tǒng)簡化為階數(shù)較低的系統(tǒng)，近似估算系統(tǒng)性能指標。 例 4-10 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 1 5 . 0 )( 1 ( ) ( + + = s s sK s G試用根軌跡法確定系統(tǒng)在穩(wěn)定欠阻尼狀態(tài)下的開環(huán)增益 K 的范圍， 并計算阻尼比 5 . 0 = ξ 的K 值以及相應的閉環(huán)極點，估算此時系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。 解 將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點形式，得 ） 2 )( 1 ( ) 2 )( 1

3、 (2 ) (*+ + = + + = s s sKs s sK s G式中， K K 2 * = 為根軌跡增益。 系統(tǒng)有三條根軌跡分支，均趨向于無窮遠處； ⑴ 實軸上的根軌跡區(qū)段為：( ] 2 ,? ∞ ? ，[ ] 1,0 ? ； ⑵ 漸近線： ? ? ?? ? ??± = + =? = ? ? =π π π ?σ, 3 3) 1 2 (1 32 1kaa⑶ 分離點： 0

4、 2111 1 = + + + + d d d整理得 0 2 6 3 2 = + + d d解得 577 . 1 1 ? = d432 . 0 2 ? = d顯然分離點為 432 . 0 ? = d ，由幅值條件可求得分離點處的 * K 值： 4 . 0 2 1 * = + + = d d d Kd⑷ 與虛軸的交點：閉環(huán)特征方程式為 0 2

5、3 ) ( * 2 3 = + + + = K s s s s D58 . 0 33 . 0 1 j + ? = λ ， 58 . 0 33 . 0 2 j ? ? = λ ， 33 . 2 3 ? = λ在所求得的 3 個閉環(huán)極點中， 3 λ 至虛軸的距離與 1 λ （或 2 λ ）至虛軸的距離之比為 7 33 . 034 . 2 ≈ （倍） 可見， 1 λ ， 2 λ 是系統(tǒng)的主導閉環(huán)極點。于是，可由 1 λ ， 2 λ 所構成的二

6、階系統(tǒng)來估算原三階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。原系統(tǒng)閉環(huán)增益為 1，因此相應的二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2 22 2 22 667 . 0 667 . 0667 . 0) 58 . 0 33 . 0 )( 58 . 0 33 . 0 (58 . 0 33 . 0 ) ( + + = + + ? ++ = s s j s j s s Φ將 代入公式得 ? ? ?==5 . 0667 . 0ξω n% 3 . 16 %2 2 5 . 0 1 14

7、. 3 5 . 0 1 = = = ? × ? ? ? e e ξ ξπ σ5 . 10 667 . 0 5 . 05 . 3 5 . 3 = × = =ns t ξω s 原系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)計算為 525 . 0 ) 1 5 . 0 )( 1 ( lim ) ( lim 0 0 = = + + = = → → K s s sK s s sG K s s v系統(tǒng)在單位斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為

8、9 . 1 1 1 = = = K K evss例 4-11 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 2 2*) 4 ( ) 1 ( ) ( + + = s sK s G（1）畫出根軌跡； （2）能否通過選擇 * K 滿足最大超調量 % 32 . 4 % ≤ δ 的要求？ （3）能否通過選擇 * K 滿足調節(jié)時間 s 2 ≤ s t 的要求？ （4）能否通過選擇 * K 滿足誤差系數(shù) 的要求？ 10 ≥ p K解 開環(huán)傳遞函數(shù)為 2 2*)