《實(shí)變函數(shù)和泛函分析基礎(chǔ)》試卷及其答案

1、.試卷一： 一、單項(xiàng)選擇題 一、單項(xiàng)選擇題（3 分×5=15 分）1、1、下列各式正確的是（ ）（A） ; （B） ; 1 lim n k n n k n A A? ??? ? ? ? ? ?1 lim n k n k n n A A? ?? ? ?? ? ? ?（C） ; （D） ;1 lim n k n n k n A A? ??? ? ? ? ? ?1 lim n k n k n n A A? ?? ? ??

2、 ? ? ?2、設(shè) P 為 Cantor 集，則下列各式不成立的是（ ）（A）c (B) (C) (D) ? P 0 mP ? P P ? ' P P ??3、下列說(shuō)法不正確的是（ ）(A) 凡外側(cè)度為零的集合都可測(cè)（B）可測(cè)集的任何子集都可測(cè) (C) 開(kāi)集和閉集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可測(cè)4、設(shè) 是 上的 有限的可測(cè)函數(shù)列,則下面不成立的是( ) ? ? ( ) n f x E

3、. . a e（A）若 , 則(B) 是可測(cè)函數(shù) ( ) ( ) n f x f x ? ( ) ( ) n f x f x ? ? ? sup ( ) nn f x（C） 是可測(cè)函數(shù);（D）若 ,則 可測(cè) ? ? inf ( ) n n f x ( ) ( ) n f x f x ? ( ) f x5、設(shè) f(x)是 上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是（ ） ] , [ b a(A) 在 上有界 (B) 在 上幾乎

4、處處存在導(dǎo)數(shù) ) (x f ] , [ b a ) (x f ] , [ b a（C） 在 上 L 可積 (D) ) ( ' x f ] , [ b a ? ? ?ba a f b f dx x f ) ( ) ( ) ( '二. 填空題 填空題(3 分×5=15 分)1、 _________ ( ) ( ( )) s s C A C B A A B ? ? ? ? ?2、設(shè) 是 上有理點(diǎn)全體，則 =___

5、___, =______, =______. E ? ? 0,1 ' Eo E E3、設(shè) 是 中點(diǎn)集，如果對(duì)任一點(diǎn)集 都有 E n R T得 分得 分.四、解答題 四、解答題（8 分×2=16 分）.1、 （8分）設(shè)，則 在 上是否 可積，是否2, ( )1,x x f xx? ? ??為無(wú)理數(shù)為有理數(shù)( ) f x ? ? 0,1 R ?可積，若可積，求出積分值。 L ?2、 （8分）求0ln( ) lim cos