放縮法在數(shù)列求和中的基本策略

1、第 1 頁(yè) 共 5 頁(yè)“放縮法 放縮法”在數(shù)列求和中的基本策略 在數(shù)列求和中的基本策略放縮法：為放寬或縮小不等式的范圍的方法。常用在多項(xiàng)式中“舍掉一些正（負(fù)）項(xiàng)”而使不等式各項(xiàng)之和變小（大） ，或“在分式中放大或縮小分式的分子分母” ，或“在乘積式中用較大（較?。┮蚴酱妗钡刃Х?，而達(dá)到其證題目的。所謂放縮的技巧：即欲證 B A ? ，欲尋找一個(gè)（或多個(gè)）中間變量 C，使 B C A ? ?，由 A 到 C 叫做“放” ，由 B 到 C

2、 叫做“縮” 。常用的放縮技巧有：（1）若 , A t A , A t A , 0 t ? ? ? ? ?（2 , n 1 n ? ? n n 2 ? , 1 n 1 1 n , 1 n ? ? ? ? ? ?), 0 n ( n n ) 1 n ( n 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 n1) 1 n ( n11 n1n1). 1 n n ( 2n1n n21 n n2 ) n 1 n ( 2 ), 1 n ( n11

3、n1) 1 n ( n1 ? ? ? ???? ?? ? ? ? ? ? ? ?（3）若 , R m b a ? ? 、 、 則. bm aba , m baba ? ? ? ?（4）? ? ? ? ? ? ? ? 2 2121 1 ! n1! 31! 21 1 ?.211 n? ? ?（5）. n1 2 ) n11 n1 ( ) 3121 ( ) 21 1 ( 1n13121 1 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4、 ? ? ? ? ? ?（6）1 1 nn1 n11 n11 n1n 212 n11 n1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或? ? ? ? ? ? n 212 n11 n1 ? . 21n 2nn 21n 21n 21 ? ? ? ? ?（7）nnnn1n1n1n13121 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?等等。注：1、放縮法的理論依據(jù)，是不等式的傳遞性，即若 , D C , C B

5、 , B A ? ? ? 則 D A ? 。 2、使用放縮法時(shí)， “放” 、 “縮”都不要過(guò)頭。3、放縮法是一種技巧性較強(qiáng)的不等變 形，一般用于兩邊差別較大的不等式。常用的有“添舍放縮”和“分式放縮” ，都是用 于不等式證明中局部放縮。1、添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)） 、添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）例 1、已知 求證： * 2 1( ). nn a n N ? ? ? * 1 22 3 11 ... ( ). 2 3nna a a n

6、n N a a a ?? ? ? ? ? ?證明： 1 112 1 1 1 1 1 1 1 1 . , 1,2,..., , 2 1 2 2(2 1) 2 3.2 2 2 2 3 2kkk k k k kka k n a ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 222 3 11 1 1 1 1 1 1 ... ( ... ) (1 ) , 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3nn nna a a n n n

7、a a a ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?* 1 22 3 11 ... ( ). 2 3 2nna a a n n n N a a a ?? ? ? ? ? ? ? ?第 3 頁(yè) 共 5 頁(yè)行放縮，從而對(duì)左邊可以進(jìn)行求和. 若分子, 分母如果同時(shí)存在變量時(shí), 要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ?，分式的放縮對(duì)于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。3、

8、先放縮，后裂項(xiàng)（或先裂項(xiàng)再放縮） 、先放縮，后裂項(xiàng)（或先裂項(xiàng)再放縮）例 6、已知 an=n ，求證： ＜3． ∑ nk = 1證明： = ＜1＋∑ nk = 1 2 kka ∑ nk = 1 31k∑ nk = 2＜１＋ = ∑ nk = 221 1 1( 1)( 1)nkk kk k ?? ? ? ?? ? ?=1＋ ( － ) ∑ nk = 2=1＋1＋ － － ＜2＋ ＜3． 221n22例 7、求證證明本題觀察數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律，