含多個時間分數階反常擴散方程的反問題研究

1、 en 山東理工大學 山東理工大學 碩士學位論文 含多個時間分數階 含多個時間分數階反常擴散 反常擴散方程 方程 的反問題研究 反問題研究 Research on Inverse Problems for the Multi-Term Time Fractional Diffusion Equations 研 究 生: 孫春龍 孫春龍 指 導 教 師: 李功勝 李功勝 教授 教授

2、 申請學位門類級別: 理 學 碩 士 學 科 專 業(yè) 名 稱: 數 學 研 究 方 向: 數學物理反問題 數學物理反問題 論 文 完 成 日 期: 2016 年 4 月 10 日 分類號：O175 密 級： 單位代碼：10433 學 號：Y1306179 山東理工大學碩士學位論文

3、 摘 要 I 摘 要 近幾十年, 分數階微積分及分數階擴散方程被越來越多的用來描述分形介質和復雜多相介質中的反常擴散過程, 對于分數階擴散相關問題的研究已成為數學界及工程學界的關注熱點. 含多個時間分數階反常擴散方程是基于多尺度時間分數階擴散疊加而得到的分數階反常擴散模型, 本文致力于對這類復雜反常擴散方程的求解和參數反問題的研究.

4、 本文首先考慮含多個時間分數階反常擴散方程正問題的求解. 對于齊次線性問題, 利用分離變量法、Laplace變換及特征函數展開得到基于Mittag-Leffler函數的解析解. 這是第二章的主要內容. 其次, 探討反常擴散方程的有限差分求解, 包括一維變系數擴散和二維變系數擴散方程, 通過估計差分格式系數矩陣的譜半徑, 證明格式的無條件穩(wěn)定性和收斂性. 數值計算結果表明, 數值解能夠較好地吻合精確解. 這是第三章的主要內容. 對于含多個

5、時間分數階反常擴散方程反問題的研究, 本文第四章、第五章與第六章分別探討由終值數據確定初始分布的逆時反問題、 由內點觀測數據識別多個時間微分階數的反問題以及關于空間依賴擴散系數與源項的聯(lián)合反演問題等三類反問題. 對于逆時反問題, 利用Mittag-Leffler函數的性質證明反問題解的存在唯一性, 并分析其不穩(wěn)定性； 對于識別多個時間微分階數的反問題, 利用Laplace變換及特征函數展開證明反問題的唯一性；對于擴散系數與源項的聯(lián)合反演

6、, 基于正問題解的表達式, 給出解算子關于未知系數函數的Lipschitz連續(xù)性, 并利用Sobolev嵌入定理證明該聯(lián)合反演問題對應的誤差泛函極小問題解的存在性, 這也為反演算法的構建奠定了理論基礎. 同時, 對于上述三類反問題, 本文利用同倫正則化方法開展數值反演研究. 從優(yōu)化的角度, 反問題求解化為誤差泛函的極小問題, 同倫正則化算法就是基于正則化策略和同倫思想, 利用有限維逼近、線性迭代和梯度近似求解極小問題的有效方法. 文中給

7、出大量數值反演算例（包括一維和二維情形）, 并對不同參數取值條件下, 反演算法的計算機實現(xiàn)進行詳盡討論. 數值結果表明, 同倫正則化算法對于含多個時間分數階反常擴散方程的參數反問題求解是有效的, 它不僅具有很高的反演精度, 而且對于附加數據的隨機擾動也具有一定的穩(wěn)定性. 關鍵詞：含多個時間分數階導數的擴散；有限差分格式；穩(wěn)定性與收斂性；逆時反問題；微分階數反問題；擴散系數與源項的聯(lián)合反演；條件適定性；多宗量Mittag-Leffler