“回歸”詞的由來(lái)

1、“回歸”一詞的由來(lái)“回歸”一詞的由來(lái)袁摘自《北京》衛(wèi)統(tǒng)計(jì)1998年第9期在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，相關(guān)與回歸是經(jīng)典的內(nèi)容，也是應(yīng)用最為廣泛的統(tǒng)計(jì)方法之一。但是，國(guó)內(nèi)教材卻很少講到回歸方法的起源。英國(guó)著名遺傳學(xué)家弗朗西斯高爾頓爵士（SirFrancisGalton18221911）在子女與父母相像程度遺傳學(xué)研究方面，取得了重要進(jìn)展。高爾頓的學(xué)生卡爾皮爾遜（KarlPearson18571936）在繼續(xù)這一遺傳學(xué)研究的過(guò)程中，測(cè)量了1078個(gè)父親及其成年

2、兒子的身高。他們之間的數(shù)量關(guān)系見(jiàn)圖1（K.PearsonA.Lee，“Onthelawsofinheritanceinman”Biometrika，partii（1903）pp.357462）圖11078對(duì)父子身高的散點(diǎn)圖對(duì)父子身高的散點(diǎn)圖圖中每一個(gè)點(diǎn)代表一對(duì)父子的身高關(guān)系。橫軸的X坐標(biāo)是父親的身高，縱軸的Y坐標(biāo)給出的是兒子的身高。我們看到，多數(shù)點(diǎn)子位于角平分斜線(xiàn)的兩側(cè)橢圓形面積之內(nèi)，落在斜線(xiàn)上的點(diǎn)子極少，即兒子與父親身高完全相同的極少

3、。由點(diǎn)子落在斜線(xiàn)周?chē)€說(shuō)明，高個(gè)子的父親有著較高身材的兒子，而矮個(gè)子父親的兒子身材也比較矮。同時(shí)，我們也看到一些遠(yuǎn)離斜線(xiàn)的點(diǎn)子，這些點(diǎn)子反映的是父親的身高與兒子的身高相差甚遠(yuǎn)的情況。比如高個(gè)子的父親有矮兒子的情況，或者矮父親有高個(gè)兒子的情況。圖1中散點(diǎn)圖給出父子身高的關(guān)系圖，但圖中給出的父親身高和兒子身高兩個(gè)變量的關(guān)系還是比較直觀的相關(guān)系數(shù)r就是對(duì)兩個(gè)變量間線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系緊密程度的度量。相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式為：??????YXYXYXYX

4、EYXCovr????????????式中分子部分為X和Y兩具變量的協(xié)方差，分母部分是X和Y兩個(gè)變量標(biāo)準(zhǔn)差的乘積。由于協(xié)方差是X和Y兩個(gè)變量與其均值離差乘積的數(shù)學(xué)期望，它受X和Y兩個(gè)變量度量單位大小的影響，因而在分母上除以X和Y兩個(gè)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，就將相關(guān)系數(shù)r轉(zhuǎn)化成從1到1之間的相對(duì)數(shù)值。實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算的結(jié)果為r=0.501，表明高個(gè)子的父親會(huì)有較高的兒子，矮身材的父親其兒子身體也不會(huì)很高，但這一正相關(guān)的關(guān)系并不十分明顯。那么，父子身高之

5、間有什么規(guī)律呢？經(jīng)過(guò)對(duì)1078對(duì)父子身高數(shù)據(jù)的計(jì)算，得到：????????22xiiiSYXCovXXYYXXb???????XbYa??由于已知r=0.501，SX=2.74，SY=2.81，則3.862.812.740.501SSrY)Cov(XYX???????則??51.074.286.32??b34.2267.60.5168.7a???父子身高的回歸方程為i0.51X34.22???iY該回歸方程就是圖2中的回歸線(xiàn)（實(shí)線(xiàn)）。當(dāng)

6、X1=58時(shí)，iY?=63.8；當(dāng)X2=64時(shí)，2?Y=66.86。當(dāng)X3=72時(shí)，3?Y=70.94。這些回歸方程上的iY?值實(shí)際上是當(dāng)Xi確定后，若干Yi的平均值。這一回歸直線(xiàn)和回歸方程表明，矮個(gè)子父親的兒子們平均身高會(huì)比父輩低一些，高個(gè)子父親的兒子們平均身高會(huì)比父輩低一些，即兒子們的身高會(huì)向平均值回歸。我們的讀者必然會(huì)問(wèn)，現(xiàn)代人一代比一代高，為什么高個(gè)子父親的兒子們平均身高要比父輩低呢？細(xì)心的讀者不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)高爾頓和皮爾遜做研究

7、時(shí)只觀察了父親和兒子的身高，并沒(méi)有考慮母親的身高。實(shí)際上，高個(gè)子父親的太太可能是較高的女性，也可能是較低的女性。反之，矮個(gè)子父親的太太可能是矮個(gè)子，也可能是較高的身材。而兒子的身高既受父親遺傳的影響，也受母親遺傳的影響，這就是為什么兒子們身高會(huì)發(fā)生“回歸”的原因。類(lèi)似的回歸現(xiàn)象還有很多，比如我們連續(xù)觀察一群學(xué)生春秋兩季的考試成績(jī)，會(huì)發(fā)現(xiàn)春季考試得高分的學(xué)生在秋季考試中雖然平均分還比較高，但平均分會(huì)有所降低。反之，春季考試分?jǐn)?shù)最低的學(xué)生們