曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論答案

1、似水驕陽(yáng)1第一章量子力學(xué)的誕生1.1設(shè)質(zhì)量為m的粒子在一維無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，???∞=axaxxxV000)(試用deBroglie的駐波條件，求粒子能量的可能取值。解：據(jù)駐波條件，有)321(2?=?=nnaλna2=∴λ（1）又據(jù)deBroglie關(guān)系λhp=（2）而能量()???321242222222222222==?===nmanamnhmmpEπλ（3）1.2設(shè)粒子限制在長(zhǎng)、寬、高分別為cba的箱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，試用量子化條件求粒子

2、能量的可能取值。解：除了與箱壁碰撞外，粒子在箱內(nèi)作自由運(yùn)動(dòng)。假設(shè)粒子與箱壁碰撞不引起內(nèi)部激發(fā)，則碰撞為彈性碰撞。動(dòng)量大小不改變，僅方向反向。選箱的長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方向?yàn)閦yx軸方向，把粒子沿zyx軸三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)分開處理。利用量子化條件，對(duì)于x方向，有()∫==??321xxxnhndxp即hnapxx=?2（a2：一來一回為一個(gè)周期）ahnpxx2=∴同理可得，bhnpyy2=chnpzz2=?321=zyxnnn粒子能量???????

3、?==222222222222)(21cnbnanmpppmEzyxzyxnnnzyx?π?321=zyxnnn1.3設(shè)質(zhì)量為m的粒子在諧振子勢(shì)2221)(xmxVω=中運(yùn)動(dòng)，用量子化條件求粒子能量E的可能取值。提示：利用)]([221xVEmpnnhxdp?===?∫?)(xV解：能量為E的粒子在諧振子勢(shì)中的活動(dòng)范圍為ax≤（1）其中a由下式?jīng)Q定：221()2xaEVxmaω===。a?0ax似水驕陽(yáng)3VTrdVmE=????????

4、??=∫3222ψψ?（1）∫=ψψVrdV3（勢(shì)能平均值）（2）()()()[]∫∫????????=??????????=ψψψψψψ322232)(2動(dòng)能平均值rdmmrdT??其中T的第一項(xiàng)可化為面積分，而在無窮遠(yuǎn)處歸一化的波函數(shù)必然為0。因此ψψ???=∫322rdmT?（3）結(jié)合式（1）、（2）和（3），可知能量密度22Vmωψψψψ=????（4）且能量平均值3Edrω=?∫。（b）由（4）式，得222222222222V

5、VtmttttVVmttttttsVVtmtmsEtωψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ???????????=????????????????????????????????????=????????????????????????????????=????????????????????=???????????tψ????????ρtEs?????=?（ρ：幾率密度）s????=（定態(tài)波函數(shù)，幾率密度ρ不隨時(shí)間改