8 均勻設(shè)計(jì)法

1、1,8 均勻設(shè)計(jì)法,8.1 均勻設(shè)計(jì)原理與均勻設(shè)計(jì)表 8.2 實(shí)驗(yàn)安排 ８.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析,2,8 均勻設(shè)計(jì)法,我們知道，正交表具有“均衡分散性”和“整齊可比性”，因而，利用正交表進(jìn)行正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，可以通過較少的實(shí)驗(yàn)，獲得全面實(shí)驗(yàn)的信息，是一種優(yōu)異的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。為了保證整齊可比的特點(diǎn)，簡化數(shù)據(jù)處理，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)不能在實(shí)驗(yàn)條件范圍內(nèi)充分地均衡分散，因此實(shí)驗(yàn)點(diǎn)不能過少。顯然，在正交實(shí)驗(yàn)中，均勻性受到一定的限制，使實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的代表性

2、還不夠強(qiáng)。由于這一原因， 當(dāng)需考察的因子數(shù)較多，特別是因子水平數(shù)較多時(shí)， 由正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)安排的實(shí)驗(yàn)次數(shù)仍然較多 。 如果不考慮實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的整齊可比性，而,3,充分體現(xiàn)其均衡性，即讓實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)充分地均勻分散，則可從全面實(shí)驗(yàn)中挑選比正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)更少的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)作為代表進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。這種著眼于實(shí)驗(yàn)點(diǎn)充分地均勻分散的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，稱為均勻?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)法。 均勻設(shè)計(jì)法已在我國飛航式導(dǎo)彈的設(shè)計(jì)中取得了有效的應(yīng)用，使試驗(yàn)、設(shè)計(jì)周期大大縮短，并節(jié)省了

3、大量的費(fèi)用。,4,8.1 均勻設(shè)計(jì)原理與均勻設(shè)計(jì)表,在多維數(shù)值積分中，目前最好的是數(shù)論方法，其出發(fā)點(diǎn)是讓點(diǎn)子在積分范圍內(nèi)散布得十分均勻，使布的點(diǎn)離被積函數(shù)的各種值充分地近，因而用的點(diǎn)不多卻能使積分值得到很好的近似。我國數(shù)學(xué)家方開泰先生將這一思想應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，開發(fā)出均勻?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)的方法，并構(gòu)造出如附表8所示的一套均勻設(shè)計(jì)表，表8.1是其中之一。,5,表8.1 U５(54)均勻設(shè)計(jì)表及使用表,6,類似于正交表，均勻設(shè)計(jì)表也有一個(gè)代號(hào)

4、 ,其各符號(hào)的意義是,7,從附表8可看出，每一張均勻設(shè)計(jì)表后都附有一張?jiān)摫淼氖褂帽恚ㄈ绫?.1右表所示），與之配合使用；每一張表安排的實(shí)驗(yàn)次數(shù)與因子水平數(shù)相等，且因子水平數(shù)皆為奇數(shù)。當(dāng)水平數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則可用水平數(shù)比多它1的奇數(shù)均勻設(shè)計(jì)表劃去最后一行來安排偶數(shù)水平數(shù)的實(shí)驗(yàn)。例如，因子水平數(shù)為4時(shí)，可利用 表安排實(shí)驗(yàn)，僅劃去 表中最后一行，即實(shí)驗(yàn)5。當(dāng)然，劃去最后一行后，相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)次數(shù)也少一次， 表就變?yōu)?

5、 均勻設(shè)計(jì)表了，而使用表不變。與正交實(shí)驗(yàn)相似，因子數(shù)較少時(shí)，也可用因子數(shù)較多的均勻設(shè)計(jì)表安排實(shí)驗(yàn)。如以2因子11水平的實(shí)驗(yàn)為例，可選用表來安排實(shí)驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)的布點(diǎn)情況見圖8.1中黑點(diǎn)所示。,8,圖8.1 2因子11水平實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)分布,9,從實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的分布可以看到，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)是均勻 地分散在整個(gè)區(qū)域內(nèi)。若是多因子時(shí)，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)同樣是在實(shí)驗(yàn)范圍構(gòu)成的多維空間中均衡分布的。 與正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)相比，均勻?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)具有下述特點(diǎn)：

6、 (1) 每個(gè)因子的每一水平只做一次實(shí)驗(yàn)，因而實(shí)驗(yàn)工作量少，這是均勻?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)的一個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn)。例如，要考察5因子對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的影響，每個(gè)因子取5水平，用正交表安排實(shí)驗(yàn)至少要進(jìn)行25次實(shí)驗(yàn)；而用均勻設(shè)計(jì)表來安排這一實(shí)驗(yàn)，只需進(jìn)行5次實(shí)驗(yàn)。雖然后一方法實(shí)驗(yàn)點(diǎn)減少了很多，但其實(shí)驗(yàn)結(jié)果仍能反映實(shí)驗(yàn)體系的主要特征。,10,11,安排在第1與第7列。圖8.1也正是由此而作出的。 (3)

7、由于均勻?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)失去了整齊可比性，因此，不能象正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)那樣，用方差分析法來處理數(shù)據(jù)，而要用回歸分析法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。 (4) 用均勻設(shè)計(jì)安排實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少，為了提高實(shí)驗(yàn)精度和可靠性，可采用實(shí)驗(yàn)次數(shù)較多的均勻設(shè)計(jì)表來重復(fù)安排因子各水平的實(shí)驗(yàn)。例如考察5個(gè)因子的影響，每個(gè)因子取6個(gè)水平，可選用 表安排實(shí)驗(yàn)。根據(jù)該均勻設(shè)計(jì)表的使用表（參見附表8），將因,12,子 A , B , C , D , E分別

8、安排在均勻設(shè)計(jì)表相應(yīng)的列（1,6,8,9,10列）內(nèi)，再將該表第13號(hào)實(shí)驗(yàn)劃去，并將各因子6個(gè)水平的每一水平在均勻設(shè)計(jì)表中重復(fù)安排一次，如將因子A的水平1安排為第1與2號(hào)實(shí)驗(yàn)，水平2安排為第3與4號(hào)實(shí)驗(yàn)，水平3安排為第5與6號(hào)實(shí)驗(yàn)，水平4安排為第7與第8號(hào)實(shí)驗(yàn)，水平5安排為第9與第10號(hào)實(shí)驗(yàn)，水平6安排為第11與12號(hào)實(shí)驗(yàn)。其它幾個(gè)因子也作同樣安排，則得如表8.2所示的具體實(shí)驗(yàn)安排。,13,表8.2 重復(fù)水平實(shí)驗(yàn)的具體安排表,14,由

9、于均勻?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)只要進(jìn)行少數(shù)實(shí)驗(yàn)即可找到基本上適用的分析條件，因此它在零星樣品的快速分析，確定待考察因子的實(shí)驗(yàn)范圍，實(shí)驗(yàn)條件的初選方面都大有好處。,8.2 實(shí)驗(yàn)安排,當(dāng)研究個(gè)因子對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)值 的影響時(shí)，在不考慮因子高次項(xiàng)與因子之間交互作用的條件下，只需選用實(shí)驗(yàn)次數(shù)等于因子數(shù)的均勻設(shè)計(jì)表來安排實(shí)驗(yàn)就可以的。而當(dāng)要考慮因子高次項(xiàng)與因子之間的交互作用時(shí)，需用多項(xiàng)式回歸來描述指標(biāo)函數(shù)。若研究的因子數(shù)因子數(shù)為 ，在回歸方程中，一次項(xiàng)與二次項(xiàng)

10、各,15,,,,,有 項(xiàng),交互效應(yīng)項(xiàng)有 項(xiàng)，共有( )項(xiàng)，因此至少要選用有( )次實(shí)驗(yàn)的均勻設(shè)計(jì)表來安排實(shí)驗(yàn)。例如要研究3因子的影響，如果因子與指標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系為線性，選用 表安排實(shí)驗(yàn)；當(dāng)各因子與指標(biāo)值之間的關(guān)系為二次多項(xiàng)式，而又要考慮因子之間的交互作用時(shí)，則回歸方程的一次項(xiàng)與二次項(xiàng)各有3項(xiàng)，因子之間的交互作用項(xiàng)有 項(xiàng)，除常數(shù)項(xiàng)不計(jì)之外，在回歸方程中至少有9個(gè)待定系數(shù)，因此至少

11、應(yīng)選用表 來安排實(shí)驗(yàn)。,16,在安排實(shí)驗(yàn)之前,應(yīng)根據(jù)專業(yè)知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來判斷與選擇在回歸方程式中的交互作用項(xiàng)與高次項(xiàng),對(duì)于那些對(duì)指標(biāo)值 y沒有顯著影響或影響較少的交互作用項(xiàng)與高次項(xiàng)應(yīng)盡量不要安排在實(shí)驗(yàn)中,以減少實(shí)驗(yàn)工作量和對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的回歸分析的工作量。,17,８.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析,８.3.1 直觀分析 由于均勻設(shè)計(jì)允許的因子水平數(shù)較多，水平間隔較小，研究因子的范圍寬，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在整個(gè)實(shí)驗(yàn)區(qū)域內(nèi)分布均勻，實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有較好

12、的代表性，因此，指標(biāo)值最佳的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)條件，即使不是全面實(shí)驗(yàn)中最優(yōu)的條件，但相對(duì)來說，也是接近于全面實(shí)驗(yàn)中的最優(yōu)條件的，因此，可以直接采用它作為相對(duì)較優(yōu)的實(shí)驗(yàn)條件來使用。這個(gè)分析方法看起來粗糙，但在正交實(shí)驗(yàn)中當(dāng)有混雜時(shí)常采用此法，大量實(shí)驗(yàn)證明這種方法是有效的。,18,８.3.2 回歸分析 (1) 回歸方程的建立,19,,,,,20,21,,,22,,,,23,,24,對(duì)需在回歸方程中引入多因子交互作用項(xiàng)與高次項(xiàng)時(shí)，可在

13、式（8-1)中再加入相應(yīng)項(xiàng)，按照上述原理，求出非線性回歸方程。當(dāng)然，其回歸分析過程就更復(fù)雜了。如前所述，應(yīng)在安排實(shí)驗(yàn)前，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷，將那些對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)影響不大的交互作用項(xiàng)和高次項(xiàng)，盡量不要安排在實(shí)驗(yàn)中，以減少實(shí)驗(yàn)和回歸分析工作量。 為了確定所建立的回歸方程是否有意義，需進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。前面已指出，的總偏差平方和可分解為回歸平方和與剩余平方和，且,（2）回歸方程的顯著性檢驗(yàn),25,,26,27,（3）標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù),28,,

14、,,29,,如果回歸方程較復(fù)雜，可采用優(yōu)化算法或數(shù)論方法求 的極大值。方開泰和王元還提出了序貫算法SNTO，可以方便地求得 的極大值。在回歸方程不太復(fù)雜的情況下，用簡單的微積分亦可求出 的極大值，即對(duì)形如式（8―1）所示的回歸方程,30,,（8―16),解出式（8―16），即可得出其實(shí)驗(yàn)的最優(yōu)條件。,求 對(duì) 偏導(dǎo)，且在 為極大值時(shí)，應(yīng)有,31,,32,,,,33,,34,表8.3 實(shí)驗(yàn)安排及實(shí)驗(yàn)結(jié)果,35,36

15、,FT —— F檢驗(yàn)值。其程序中如下： !EXAMPLE PROG 8.1 DIM X(1,1),Y(1),A(1,1),AX(1),B(0 TO 1),XX(1,1) DIM SX(1),D(1),C(0 TO 1, 0 TO 1),XXT(1,1),LY(1) DIM F(0 TO 1),P(0 TO 1),X1(1,1) INPUT PROMPT“N，M1=”：N，M1 MAT R

16、EDIM X1(N，M1)，Y（N） FOR I=1 TO M1 FOR J=1 TO N READ X1（J，I） NEXT J NEXT I,37,,FOR J=1 TO N READ Y(J)NEXT J！LET M =2*M1+M1*（M1-1）/（（M1-1）*（M1-2））MAT REDIM A(M+1,M+1)，AX(M)，B(0 TO M)，X(N,M

17、)， XX(N,M+1),LY(M)MAT REDIM XX(N,M+1），SX(M),D(M),C(0 TO M,0 TO M),XXT(M+1,N)！FOR J=1 TO N FOR I=1 TO M1 LET X(J,I）=X1(J,I） NEXT INEXT J,38,FOR J=1 TO N FOR I=M1+1 TO 2*M1 LET X(J,I）=X1(

18、J,I-M1)^2 NEXT I NEXT J FOR J=1 TO N LET X(J,7)=X1(J,1)*X1(J,2) LET X(J,8)=X1(J,1)*X1(J,3) LET X(J,9)=X1(J,2)*X1(J,3) NEXT J ！ FOR J=1 TO M LET SX(J)=0,39,,FOR I=1 T

19、O N LET SX(J)=SX(J)+X(I,J) NEXT I NEXT J ! LET SY,LYY=0 FOR I=1 TO N LET SY=SY+Y(I) NEXT I ! FOR I=1 TO M LET AX(I)=SX(I)/N NEXT I,40,,LET AY=SY/N FOR I=

20、1 TO N LET LYY=LYY+(Y(I)-AY)^2 NEXT I ! FOR I=1TO N LET XX(I,1)=1 FOR J=2 TO M+1 LET XX(I,J)=X(I,J-1) NEXT J NEXT I !,41,,MAT XXT=TRN(XX) MAT D=XXT*Y MAT A

21、=XXT*XX MAT C=INV(A) MAT B=C*D ! FOR I=1 TO M LET LY(I)=0 FOR K=1 TO N LET LY(I)=LY(I)+(X(K,I)-AX(I))*(Y(K)-AY) NEXT K LET U=U+B(I)*LY(I) NEXT I,42,,LET Q=LY

22、Y-ULET R=SQR(U/LYY)LET FT=(U/M1)/(Q/(N-M1-1))!OPEN#3:PRINTERPRINT#3:＂OUTPUT DATA:＂PRINT#3:＂R=＂;R, ＂FT=＂;FTPRINT#3:FOR I=0 TO M PRINT#3:＂B(＂;I;＂)=＂;B(I)NEXT IDATA 0.8,1.0,1.2,1.4,0.8,1.0,1.2,1.4,0.8,1.0,1.2,1

23、.4DATA 3,6,3,6,2,5,2,5,1,3,1,3,43,,DATA 6,4,8,5,3,7,4,8,6,3,7,5,DATA .523,.612,.705,.689,.413,.670DATA .576,.720,.307,.451,.375,.625ENDOUTPUT DATA: R= .959444 FT= 30.89 B(0)= .708663 B(1)=-.838678