工程流體力學(xué)第三章

1、第3章 流體靜力學(xué),所謂靜止流體是指無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的流體，即無(wú)流動(dòng)的流體，是流體的特殊情況。靜止流體是相對(duì)于運(yùn)動(dòng)流體而言的。流體靜力學(xué)的任務(wù)就是研究靜止流體的力學(xué)性質(zhì)，分析其各個(gè)物理量之間的相互關(guān)系。主要解決兩個(gè)問(wèn)題： ① 為后面的流體動(dòng)力學(xué)奠定受力分析基礎(chǔ)； ② 流體靜力學(xué)分析的方法和某些結(jié)果可直接應(yīng)用于科學(xué)和工程實(shí)際。,§3-1作用在流體上的力,一.質(zhì)量力,考察流體團(tuán)塊的受力狀況。如圖 所示的流體團(tuán)，體積為 V ，表面積

2、為 A 。 這個(gè)流體團(tuán)所受外力可分為兩類(lèi)：質(zhì)量力和表面力。,質(zhì)量力又稱(chēng)體積力，是作用在流體上的非接觸力，或稱(chēng)為遠(yuǎn)程力（意為遠(yuǎn)距離作用力），如地球引力和運(yùn)動(dòng)慣性力等。質(zhì)量力與流體的質(zhì)量有關(guān)。如圖 所示，若微元體 △ v 的密度為 P ，所受到的質(zhì)量力為 △ F ，則單位質(zhì)量流體所受的質(zhì)量力 f 可定義為：,一般來(lái)說(shuō)，流體的質(zhì)量力是變化的，因此單位質(zhì)量力是時(shí)間和空間的函數(shù)， 可表示為：,二· 表面力（實(shí)際上是作用在

3、流體表面上的力）表面力是由相鄰流體質(zhì)點(diǎn)或其他物體直接作用于流體微團(tuán)表面的力，用 △ P 表示作用在法線(xiàn)為 n 的微元面積 △ A 上的表面力，則單位面積受到的表面力 Pn 可定義為,用分量式可表示為,作用在體積為 v 的流體團(tuán)上的總質(zhì)量力 F m就可以表示為,pn同樣是時(shí)間和空間的函數(shù)，即,由于是單位面積上的力，所以 pn通常稱(chēng)為微元面上的應(yīng)力。 如果p n不垂直表面，則可將其分解為分別與表面垂直和平行的兩個(gè)分 量，垂直分量稱(chēng)為

4、正應(yīng)力，平行分量稱(chēng)為切應(yīng)力。,三.靜止流場(chǎng)中的應(yīng)力性質(zhì),對(duì)于靜止流場(chǎng)表面力就是正應(yīng)力或法向應(yīng)力，即,可以證明：靜止流體中的法向應(yīng)力值是各向同性的，即,p 通常稱(chēng)為流體靜壓力，或簡(jiǎn)稱(chēng)壓力，它總是取正值。 于是，作用在體積為 v 、表面積為 A 的靜止流體團(tuán)上的總表面力FA為：,壓力 p 的單位是 N · m 一“或 Pa （帕斯卡）。,§3. 2 流體靜力學(xué)方程及基本特性,一.流體靜力學(xué)方程,物體處于靜止的必要條件

5、是：作用在物體上的外力和外力矩的總和分別為零。即,根據(jù)式（ 3 - 4 ）和式（ 3 -9 ) ，對(duì)于流體團(tuán)塊，作用在上面的總力為,∴,由奧一高定理,代入式（ 3 -12 ）即：,上式為流體靜力學(xué)的基本方程，其應(yīng)用十分廣泛。它不光用在流體靜力學(xué)的受力分析中，也可以對(duì)運(yùn)動(dòng)的流體處于平衡狀態(tài)時(shí)的受力分析。,即,由,也可以得到,將上式寫(xiě)成分量的形式：,二.流場(chǎng)的基本特征,( 1 ）流體靜止質(zhì)量力的必要條件,( 2 ）質(zhì)量力有勢(shì),該式就是不可壓

6、縮流體靜止的必要條件。,按矢量運(yùn)算的定義，上式存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù) U ，使不可壓縮流體的質(zhì)量力被表示成如下的關(guān)系,流體質(zhì)量力滿(mǎn)足這個(gè)關(guān)系就稱(chēng)之為質(zhì)量力有勢(shì)， U 被稱(chēng)為質(zhì)量力勢(shì)函數(shù)。因此質(zhì)量力有勢(shì)是不可壓縮流體靜止的必要條件。其負(fù)號(hào)表示質(zhì)量力做正功等于質(zhì)量力勢(shì)的減少。,此時(shí)等壓面也就是等勢(shì)面。因此，等壓面的重要性質(zhì)是：作用于靜止流體中任一點(diǎn)的質(zhì)量力必然垂直于通過(guò)該點(diǎn)的等壓面。等壓面概念對(duì)解決許多流體平衡問(wèn)題很有用處，它是液柱式壓力計(jì)測(cè)壓

7、原理的重要基礎(chǔ)。根據(jù)等壓面性質(zhì)，我們可以在已知質(zhì)量力的方向，去確定等壓面的形狀，或已知等壓面的形狀去確定質(zhì)量力的方向。,( 3 ）有勢(shì)質(zhì)量力場(chǎng)中靜止流體的等壓面和等勢(shì)面,在靜流體中壓力相等的各點(diǎn)所構(gòu)成的面稱(chēng)之為“等壓面”。也即在等壓面上P=常數(shù)，dP=0；,由此可知,根據(jù)等壓面的特性可以更普遍地證明：兩種不同流體處于平衡狀態(tài)時(shí)，其相互接觸的（但互不相混）分界面必然是等壓面。,重要性質(zhì)：說(shuō)明正壓流場(chǎng)中等壓面與等密度面重合，這是正壓流

8、場(chǎng)的根據(jù)靜力學(xué)方程（ 3 - 15 ) ，正壓流場(chǎng)的流體靜力學(xué)基本方程可以寫(xiě)為,將上式兩邊取旋度,( 4 ）正壓流場(chǎng)流體的密度只是壓力的函數(shù)的流場(chǎng)稱(chēng)之為正壓流場(chǎng)，即在正壓流場(chǎng)中,由于等壓面與等密度面重合，因此壓力和密度的梯度?p 、 ?ρ 必然是平行矢量，所以,從以上各式可以得出這樣的結(jié)論：處于靜止的正壓流場(chǎng)，其質(zhì)量力必然有勢(shì)；反之，在質(zhì)量力有勢(shì)的條件下，非正壓流場(chǎng)不可能處于靜止?fàn)顟B(tài)，處于靜止?fàn)顟B(tài)的必然是正壓流場(chǎng)。例 3 -1

9、流場(chǎng)靜止條件的應(yīng)用P33,因此,即靜止正壓流場(chǎng)的質(zhì)量力有勢(shì)。,§3 . 3 某些流體靜力學(xué)基本問(wèn)題,在工程技術(shù)中，許多的工業(yè)過(guò)程與流體靜力學(xué)相關(guān)，研究這些問(wèn)題就需要流體靜力學(xué)的知識(shí)。一、壓力分布與受力分析,對(duì)于流體靜力學(xué)基本方程：,于是，在直角坐標(biāo)系中，靜止液體中壓力的全微分可用體積力的形式來(lái)表示。,二.重力場(chǎng)中靜止液體的壓力公式,如圖所示，液體所受到的質(zhì)量力只有重力，即,其分量分別為：,于是，壓力全微分可表示成,這就是重力

10、場(chǎng)下均質(zhì)靜止液體中的壓力分布公式。,§3-4 管式壓力計(jì),一、單管壓力計(jì),如圖所示， 管的上端與大氣相通，下端與測(cè)壓點(diǎn)相連。在壓力作用下液體沿測(cè)壓管上升某一高度h，該高度就表示測(cè)點(diǎn)的表壓值，M點(diǎn)表示表壓力。,優(yōu)點(diǎn)是：結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且較準(zhǔn)確；缺點(diǎn)是：只能測(cè)量液體壓力，不能測(cè)量氣體壓力，測(cè)量范圍小，一般測(cè)小于十分之一工程大氣壓。,例 1 有一容器內(nèi)盛水，液面表面壓力為 p0 = 107.91 x 103 N／m2（= 1. 10 x

11、104 kgf／m2），容器液面高標(biāo)尺讀數(shù)為 h = 0 . 5 米。求測(cè)壓管液面標(biāo)高的標(biāo)尺讀數(shù) H 為若干？（如圖),解 取 1 -1 水平面（為等壓面），從測(cè)壓管液面高度可知液體平衡條件為：,同樣，亦可根據(jù)已知測(cè)壓管液面標(biāo)高的標(biāo)尺讀數(shù) H 值， 反求容器內(nèi)液面表壓 P0 值。,可解出：,m,解畢.,二、 U 形管測(cè)壓計(jì),如圖所示 U 形管壓力計(jì)，對(duì)于A點(diǎn)的表壓為：,由于 B 點(diǎn)與 C 點(diǎn)在同一水平線(xiàn)上，即處于同一等壓面上。因而

12、有：,+ P0,+ P0,如果測(cè)量氣體壓力，由于氣體重度 γ1 遠(yuǎn)小于液體重度γ2 ，則容器內(nèi)A點(diǎn)流體表壓可近似地等于：,三. 多U 形管壓力計(jì),對(duì)圖中各 U 形管連續(xù)應(yīng)用流體靜壓力基本方程，就可得,若被測(cè)流體的壓力超過(guò) 3 個(gè)大氣壓時(shí)，可把幾個(gè) U 形管串聯(lián)，組成 U 形多管測(cè)壓計(jì)如圖所示。,+ P0,將上述方程組累加，則得 A 點(diǎn)的壓力為,+P0,若n支U形管串聯(lián)，則有：,+ P0,§3-5 平面上的液體總壓力,一、總壓

13、力大小,如圖所示與水平成 α 傾角的斜平面 A上取一微元面積 dA ，其形心位于水深 h 處，液體作用在微元面積上表壓力的合力為：,則總壓力P為：,代入上式，則：,(1),它表明作用在平面 A 的液體總壓力，等于浸水面積 A 與形心點(diǎn)的靜壓力 γhc的乘積。可理解為一假想體積的液重，即以浸水面積 A 為底，面積 A 的形心淹沒(méi)深度hc為高的這樣一個(gè)體積包圍的液體重量。,二、總壓力的作用點(diǎn)（即壓力中心座標(biāo) yD點(diǎn)）,,,如圖，設(shè)總壓力的

14、作用點(diǎn)為 D ，通常稱(chēng)D為壓力中心。 壓力中心座標(biāo) yD可根據(jù)力學(xué)的合力矩定理來(lái)確定：即總壓力對(duì) x 軸的力矩等于各微元面積微分壓力對(duì)二軸力矩的代數(shù)和。亦即,因?yàn)?故,(2),由慣性矩的平行移軸定理知：,這表明液體總壓力P垂直指向平面A，并等效地作用在的壓力中心 D 點(diǎn)上。表中列出幾種常見(jiàn)的規(guī)則平面形心座標(biāo)及形心慣性矩 Jcx的計(jì)算公式。,,例 題 有一矩形平壁，兩側(cè)均受一有重度為γ的靜止液體作用，且水深分別為 h1及 h2（圖

15、）。試求液體作用此矩形平壁的合力及其壓力中心（平壁在垂直于圖面方向的寬度為 B ）。解： 先討論平壁左側(cè)因是矩形平壁，則有（其深度為 h1 ) ，,根據(jù)式（ 2 ）則,同理，討論平壁右側(cè)（深度為 h2 ),B 、 h1、 h2― 平壁寬度，左側(cè)、右側(cè)水深（米）。設(shè)合力P作用點(diǎn)距液面淹深為 yD ，對(duì) 0 點(diǎn)應(yīng)用合力矩定理，則得,經(jīng)整理，最終得,解畢.,例 題 如圖所示 為一冷卻水池的泄水孔，在 N 點(diǎn)用鉸鏈將閘門(mén)連接于擋水墻上，并

16、在 M 點(diǎn)連接啟開(kāi)閘門(mén)的鐵鏈。已知垂直關(guān)閉的矩形閘門(mén) MN 的尺寸為 b x h２ = l . 0x0 . 5 m2 ，又 h 1 = 2 . 9 m、 h2 = 0 . 5 m， h3 = 0 . 3 m。若開(kāi)啟閘門(mén)時(shí)鐵鏈與水平成 45?角。試求啟開(kāi)閘門(mén)所需的力 T 為若干？（閘門(mén)重量及摩擦力忽略不計(jì)）,解：確定閘門(mén)受水作用后的總壓力,（N）,壓力中心座標(biāo) yD,現(xiàn)在按力 T 對(duì)鉸鏈 N 的力矩等于力尸對(duì)鉸鏈 N 的力矩計(jì)算即,

17、解畢.,§3-6浮力定律,該式表明，物體所受的浮力等于其所排開(kāi)的液體的重量（重力），方向垂直向上。這就是人們熟知的阿基米德定律。,完全浸沒(méi)物體的浮力。液體對(duì)潛入其中的物體的作用力稱(chēng)為浮力，可表示為：,例 題 試確定浮力比重計(jì)的沉入深度h。γ液體比重；d浮管直徑；M比重計(jì)質(zhì)量；V浮球體積；,,解：求浮力F（管+球）,由平衡條件：,解畢.,§3-7非慣性系流體靜力學(xué),流體靜力學(xué)基本方程式（ 3 - 15 ）是對(duì)慣性坐標(biāo)

18、系建立的。在有加速度的非慣性坐標(biāo)系中流體處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，則其表面力仍然具有各向同性和切應(yīng)力為零的性質(zhì)，因此基本方程同樣可以成立。不同的是，在非慣性坐標(biāo)系中，流體處于靜止?fàn)顟B(tài)，其所受的力還應(yīng)包括慣性力，即基本方程中的質(zhì)量力了應(yīng)為重力和慣性力兩部分之和。下面來(lái)分析兩種非慣性坐標(biāo)系中靜止流體的受力情況。其加速度 α 為:,根據(jù)達(dá)郎貝爾原理，單位質(zhì)量流體受到的慣性力為由慣性力和重力兩部分組成，即:,代人式（ 3 -15 ）得非慣性坐標(biāo)系

19、中的流體靜力學(xué)方程為,其直角坐標(biāo)系下的分量式為,當(dāng)加速度是常數(shù)時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行積分可得流體的壓力分布為,全微分可以表示為:,其中c是積分常數(shù)，由具體問(wèn)題確定。,例 3 . 2，P37,旋轉(zhuǎn)容器中的靜止液體,如圖所示一個(gè)旋轉(zhuǎn)容器，容器半徑為 R ；靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)裝有深度達(dá)到 H 的液體。當(dāng)容器以角速度ω做等速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，液體除受到重力作用外還要受到離心慣性力的作用。根據(jù)圖示的坐標(biāo)可知，單位質(zhì)量流體的重力分量為,流體繞 z 軸以勻角速度ω旋轉(zhuǎn)時(shí)

20、，單位質(zhì)量流體受到的慣性力（離心力）x 、 y 、 z 方向的分量為：,同理將質(zhì)量力代人壓力全微分公式有：,旋轉(zhuǎn)的液面為自由表面，也是等壓面，所以 dp = 0 ，積分上式即：,即，自由表面為一拋物面，其等壓面也為一簇拋物面。根據(jù)旋轉(zhuǎn)時(shí)與不旋轉(zhuǎn)時(shí)體積應(yīng)當(dāng)相等，可得：,由于軸對(duì)稱(chēng) x2 ＋y2＝ r2 ，所以上式為,當(dāng) r=0時(shí)，z= H0 ，即c=-gH0,壓力分布 積分式（ 3 - 51 ）得到容器中的壓力分布,其中h為自由液

21、面到液體中某點(diǎn)的垂直距離。,高速回轉(zhuǎn)圓筒內(nèi)的流體壓力分布,對(duì)于像離心機(jī)之類(lèi)的旋轉(zhuǎn)機(jī)械來(lái)說(shuō)，容器的旋轉(zhuǎn)速度少則每分鐘幾百轉(zhuǎn)，多則達(dá)每分鐘數(shù)十萬(wàn)轉(zhuǎn)。高轉(zhuǎn)速使液體所受的旋轉(zhuǎn)慣性力遠(yuǎn)大于重力。由3-51式:,ω=0 ω＞0 ω＞＞0,積分上式為,此即高速回轉(zhuǎn)圓筒內(nèi)的流體壓力分布的表達(dá)式。它在徑向是呈拋物線(xiàn)分布

22、的。,（3-59）,例3-3 P41。,習(xí) 題,3- 1 一個(gè)底部為正方形的容器被分成兩部分，兩部分在容器的底部連通。在容器中裝人水以后，再在左邊部分加人密度為 820 kg ／m3 的油，形成如圖 3-9 所示的形態(tài)。試計(jì)算右邊油的高度 h 。又：如果在油面上浮著一個(gè) 1000N 重的木塊，則右邊的水面要上升多少？ 3-2 在海中一艘滿(mǎn)載貨物的船，其形態(tài)如圖 3-10 所示。船底長(zhǎng)度 12m ，船體寬度（垂直于紙面）上下均

23、為 6m ，船長(zhǎng)兩端梯度均為 45 。，并近似取海水的密度為 1000 噸／ m3 。求船加上貨物的總質(zhì)量。,3-3 一座水壩結(jié)構(gòu)如圖 3-11所示，水壩底部?jī)A角正切 tgθ=4 ，求水作用在單位壩寬度上的合力 F 大小及作用位置。3-4 一個(gè)充滿(mǎn)水的密閉容器以等角速度ω繞一水平軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)需要考慮重力的影響。試證明其等壓面是圓柱面，且等壓面的中心軸線(xiàn)比容器的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線(xiàn)高 g ／ω2。 3-5 圖 3-12 為一液體轉(zhuǎn)速計(jì)，由直徑為

24、d1的中心圓筒和重量為 w 的活塞、以及兩個(gè)直徑為 d2的有機(jī)玻璃管組成，玻璃管與轉(zhuǎn)軸軸線(xiàn)的半徑距離為R，系統(tǒng)中盛有汞液。試求轉(zhuǎn)動(dòng)角速度田與指針下降距離 h 的關(guān)系（ω= 0 時(shí)， h = 0 ）。,如圖1所示，當(dāng)ω=0，r=0時(shí)活塞下面液高為H，指針高h(yuǎn)=0，由活塞重量引起的小管離液面的高差為δ。在圖2的情況下，ω≠0，r=0時(shí)活塞下面液高為H0。指針高h(yuǎn)>0，由旋轉(zhuǎn)引起的小管離液面的伸高為ZR加上原液位高差為δ。