折射率橢球

1、,,,幾何圖形能使我們直觀地看出晶體中光波的各個(gè)矢量場(chǎng)間的方向關(guān)系，以及與各傳播方向相應(yīng)的光速或折射率的空間取值分布。,5.2.2 光在晶體中傳播的幾何法描述,,,,5.2.2 光在晶體中傳播的幾何法描述,幾何方法僅僅是一種表示方法，它的基礎(chǔ)仍然是上面所給出的光的電磁理論基本方程和基本關(guān)系。,,,,5.2.2 光在晶體中傳播的幾何法描述,人們引入了折射率橢球、折射率曲面、波法線曲面、菲涅耳橢球、射線曲面、相速卵形面等六種三維曲面.,,1

2、. 折射率橢球,1) 折射率橢球方程,由光的電磁理論知道，在主軸坐標(biāo)系中，晶體中的電場(chǎng)儲(chǔ)能密度為,,,1) 折射率橢球方程,故有,在給定能量密度 ?e 的情況下，該方程為D (D1、D2、D3)空間的橢球面。,,,1) 折射率橢球方程,若令,則有,,,,1) 折射率橢球方程,或,它就是在主軸坐標(biāo)系中的折射率橢球方程。對(duì)于任一特定的晶體，折射率橢球由其光學(xué)性質(zhì)(主介電常數(shù)或主折射率)唯一地確定。,,,2) 折射率橢球的性質(zhì),若從主軸坐標(biāo)

3、系的原點(diǎn)出發(fā)作波法線矢量 k，再過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作一平面?(k)與 k 垂直。,,,2) 折射率橢球的性質(zhì),?(k)與橢球的截線為一橢圓，橢圓的半長(zhǎng)軸和半短軸的矢徑分別記作 ra(k) 和 rb (k)，則可以證明折射率橢球具有下面兩個(gè)重要的性質(zhì)：,,,2) 折射率橢球的性質(zhì),①與波法線方向 k 相應(yīng)的兩個(gè)特許線偏振光的折射率 n? 和 n??，分別等于這個(gè)橢圓的兩個(gè)主軸的半軸長(zhǎng)，即,,2) 折射率橢球的性質(zhì),②與波法線方向 k 相應(yīng)的兩個(gè)特

4、許線偏振光 D 的振動(dòng)方向 d? 和 d??，分別平行于 ra 和 rb，即,這里，d 是 D 矢量方向上的單位矢量。,,2) 折射率橢球的性質(zhì),只要給定了晶體，知道了晶體的主介電張量，就可以作出相應(yīng)的折射率橢球。,從而就可以通過(guò)上述的幾何作圖法定出與波法線矢量k 相應(yīng)的兩個(gè)特許線偏振光的折射率和 D 的振動(dòng)方向。,,,現(xiàn)在證明上述結(jié)論:,由空間解析幾何理論，與波法線 k 垂直的中心截面?(k)上的橢圓，應(yīng)滿足下面兩個(gè)方程：,,,由于橢

5、圓的長(zhǎng)半軸和短半軸是橢圓矢量的兩個(gè)極值,所以，可以通過(guò)對(duì)滿足(73)式、(74)式的 r2＝x12＋ x22 + x32 求極值來(lái)確定 ra(k) 和 rb(k)。,,,根據(jù)拉格朗日待定系數(shù)法，引入兩個(gè)乘數(shù) 2?l 和 ?2，構(gòu)成一個(gè)函數(shù):,,,,求解 ra(k) 和 rb(k) 的問(wèn)題就變成了對(duì) F 求極值的問(wèn)題。而 F 取極值的必要條件是它對(duì) x1、x2、x3 的一階導(dǎo)數(shù)為零，即,,,將(76)式的三個(gè)式子分別乘以 x1、x2、

6、x3，然后相加，利用(73)式和(74)式關(guān)系，得,,,,,,,,再將(76)式的三個(gè)式子分別乘以 k1、k2、k3，然后相加，并再次利用(73)式關(guān)系，得到,,,,,,,將(77)式、(78)式得出的 ?1 和 ?2 關(guān)系代入(76)式，可得,,,,,,,這三個(gè)方程就是與 k 垂直的橢圓截線矢徑 r 為極值時(shí)所滿足的條件,也就是橢圓兩個(gè)主軸方向的矢徑 ra和 rb 所滿足的條件。,,將(79)式與(38)式進(jìn)行比較可見，二式的差別只

7、是符號(hào)不同。,,如果我們進(jìn)行如下的代換：,并注意到 Di/?0?i＝Ei，則(79)式可以寫成,,,,,這組關(guān)系式就是晶體中與 k 相應(yīng)的兩個(gè)特許線偏振光的 D 矢量和折射率所遵從的關(guān)系(38)式。,,考慮到 x1: x2: x3＝D1: D2: D3和 r＝n，r 的方向就是滿足(80)式的 D 方向，r 的長(zhǎng)度就是滿足(80)式的 n。,,,通過(guò)中心與 k 垂直的橢圓截面兩個(gè)主軸矢徑 ra 和 rb 的方向，就是波法線矢量為 k

8、 的兩個(gè)特許編振光 D 矢量的振動(dòng)方向，兩個(gè)半軸長(zhǎng) ?ra?和 ?rb ?就是分別與這兩個(gè)線偏振光相應(yīng)的折射率。,,橢球的三個(gè)半軸長(zhǎng)分別等于三個(gè)主介電系數(shù)的平方根，其方向分別與介電主軸方向一致。,,,通過(guò)橢球中心的每一個(gè)矢徑方向，代表 D 的一個(gè)振動(dòng)方向，其長(zhǎng)度為 D 在此方向振動(dòng)的光波折射率,故矢徑可表示為 r＝nd。所以，折射率橢球有時(shí)也稱為(d，n)曲面。,,3)利用折射率橢球確定D、E、k、s 方向的幾何方法,利用折射率橢球除了

9、確定相應(yīng)于 k 的兩個(gè)特許線偏振光 D 矢量的振動(dòng)方向和折射率外，還可以借助于下述幾何方法，確定 D、E、k、s 各矢量的方向。,,3)利用折射率橢球確定D、E、k、s 方向的幾何方法,D、E、k、s 矢量都與H 矢量垂直，因而同處于一個(gè)平面內(nèi)，這個(gè)平面與折射率橢球的交線是一個(gè)橢圓。,,,3)利用折射率橢球確定D、E、k、s 方向的幾何方法,如果相應(yīng)于波法線方向 k 的一個(gè)電位移矢量 D 確定了，與該 D 平行的矢徑端點(diǎn)為 B，則橢球在

10、B 點(diǎn)的法線方向平行于與該 D 矢量相應(yīng)的 E 矢量方向。,,曲面 f(x1，x2，x3)＝C 上某點(diǎn)處的法線方向平行于函數(shù) f 在該點(diǎn)處的梯度矢量 ?f。由(69)式，折射率橢球方程可寫成,所以，,現(xiàn)證明如下：,,,若將 xi＝Din/D 和?i＝Di/?0Ei代入，上式變?yōu)?因而,這說(shuō)明，與折射率橢球上某點(diǎn)所確定的 D 矢量相應(yīng)的 E 矢量方向，平行于橢球在該點(diǎn)處的法線方向。,3)利用折射率橢球確定D、E、k、s 方向的幾何方法,

11、,幾何方法：先過(guò) B 點(diǎn)作橢圓的切線BT，再由O 點(diǎn)向 BT 作垂線OR, 則OR 的方向即是B 點(diǎn)的法線方向,也就是與 D 相應(yīng)的 E 的方向。,3)利用折射率橢球確定D、E、k、s 方向的幾何方法,,另外，過(guò)O 點(diǎn)作BT 的平行線OQ，則 OQ 的方向就是s 的方向，而垂直于OB 的方向OJ 就 k 的方向。,3)利用折射率橢球確定D、E、k、s 方向的幾何方法,,4) 應(yīng)用折射率橢球討論晶體的光學(xué)性質(zhì),,(1) 各向同性介質(zhì)或立

12、方晶體,在各向同性介質(zhì)或立方晶體中，主介電系數(shù) ?1＝?2 ＝ ?3,主折射率 n1＝n2＝n3＝n0，折射率橢球方程為,這就是說(shuō)，各向同性介質(zhì)或立方晶體的折射率橢球是一個(gè)半徑為 n0 的球。,,(1) 各向同性介質(zhì)或立方晶體,不論 k 在什么方向,垂直于k 的中心截面與球的交線均是半徑為 n0 的圓，不存在特定的長(zhǎng)、短軸，因而光學(xué)性質(zhì)是各向同性的。,,(2)單軸晶體,在單軸晶體中，?1=?2 ? ?3 ，或 n1=n2=no，n3=n

13、e ? no，因此折射率橢球方程為,顯然這是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球面，旋轉(zhuǎn)軸為 x3軸。,(2)單軸晶體,若 ne＞no稱為正單軸晶體，折射率橢球是沿著 x3 軸拉長(zhǎng)了的旋轉(zhuǎn)橢球；若 ne ＜no，稱為負(fù)單軸晶體，折射率橢球是沿著 x3 軸壓扁了的旋轉(zhuǎn)橢球。,設(shè)晶體內(nèi)一平而光波的 k 與 x3 軸夾角為 ?，則過(guò)橢球中心作垂直于 k 的平面 ?(k)與橢球的交線必定是一個(gè)橢圓。,下面討論波法線方向?yàn)?k 的光波傳播特性:,由于旋轉(zhuǎn)橢球的 x1(x

14、2) 軸的任意性，可以假設(shè) (k，x3) 面為 x2Ox3 平面。若建立新的坐標(biāo)系 O－x?1x?2x?3，使 x?3 軸與 k 重合，x?1 軸與 x1 軸重合，則 x?2 軸在 x2Ox3 平面內(nèi)。,這時(shí)，?(k) 截面即為 x?1Ox?2 面，其方程為,,新舊坐標(biāo)系的變換關(guān)系為,,,將上面關(guān)系代入(82)式，再與(83)式聯(lián)立，就有,,其中,經(jīng)過(guò)整理，可得出截線方程為,,,或表示為,根據(jù)折射率橢球的性質(zhì)，橢圓截線的長(zhǎng)半軸和短半

15、軸方向就是相應(yīng)于波法線方向 k 的兩個(gè)待許線偏振光的 D 矢量振動(dòng)方向 d? 和 d?? ,兩個(gè)半軸的長(zhǎng)度等于這兩個(gè)特許線偏振光的折射率 n? 和 n?? 。,,,由(84)式可見,這個(gè)橢圓有一個(gè)半軸的長(zhǎng)度為no 方向?yàn)閤1 軸方向.如果k 在 x2Ox3 平面內(nèi),不論 k 的方向如何，它總有一個(gè)特許線偏振光的折射率不變,相應(yīng)的 D 方向垂直于 k 與 x3 軸所構(gòu)成的平面,這就是o 光。,,通過(guò)作圖法，即可確定 o 光的 E??D，

16、s??k。,,對(duì)于橢圓的另一個(gè)半軸，其長(zhǎng)度為 ne?，且在 x2Ox3 平面上。相應(yīng)于波法線方向 k 的另一個(gè)特許的線偏振光的D矢量在(k,x3)面內(nèi)，相應(yīng)的折射率 ne? 隨 k 的方向變化，這就是 e 光。,,通過(guò)作圖法可以看出，e 光的 D 方向不在主軸方向,因而 E 與 D 不平行，s 與 k 也不平行。這些結(jié)果與解析法得到的結(jié)論完全一致。,下面討論兩種特殊情況：,① ?＝0 時(shí)，k 與 x3 軸重合，這時(shí)，ne?＝no，中心截

17、面與橢球的截線方程為,,,這是一個(gè)半徑為 no 的圓。沿 x3 軸方向傳播的光波折射率為 no ，D 矢量的振動(dòng)方向除與 x3 軸垂直外，沒(méi)有其它約束，故 x3 軸為光軸。,②?＝?/2 時(shí)，k 與 x3 軸垂直，這時(shí)，ne?＝ne，e 光的D 與 x3 軸平行。中心截面與橢球的截線方程為,,對(duì)于正單軸晶體，e 光有最大折射率；而對(duì)于負(fù)單軸晶體，e 光有最小折射率。運(yùn)用幾何作圖法，可以得到 D??E，k?? s。,精品課件！,精品課