第九講 從算術(shù)到代數(shù)

1、第九講第九講從算術(shù)到代數(shù)（一）從算術(shù)到代數(shù)（一）算術(shù)與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩門(mén)不同的分科，但它們之間關(guān)系密切.代數(shù)是在算術(shù)中“數(shù)”和“運(yùn)算”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的.在小學(xué)算術(shù)課本里同學(xué)們由淺入深地學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算，并學(xué)會(huì)了用這些四則運(yùn)算去解一些不太復(fù)雜的四則應(yīng)用題.歸納一下，在用算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)主要用到了以下三種關(guān)系：①部分?jǐn)?shù)與總數(shù)的關(guān)系；②兩數(shù)差的關(guān)系；③一倍數(shù)（或一份數(shù)）、倍數(shù)和幾倍數(shù)的關(guān)系.第1、第2種關(guān)系用“

2、加”、“減”法完成，第3種關(guān)系則用乘、除法完成.在解四則運(yùn)算題時(shí)用到了對(duì)于數(shù)的“加法”、“乘法”都普遍成立的運(yùn)算法則：交換律、結(jié)合律、分配律.設(shè)a、b、c表示任意三個(gè)數(shù)，下列等式恒成立：交換律：a＋b=ba，ab=ba結(jié)合律：（ab）c=a（b＋c）（ab）c=a（bc）分配律：a（bc）＝abac.另外，在用算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)常按應(yīng)用題的性質(zhì)分為許多類(lèi)型.如：和倍問(wèn)題、差倍問(wèn)題、行程問(wèn)題、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題、比例問(wèn)題、….對(duì)每類(lèi)問(wèn)題先歸納出解

3、決這類(lèi)問(wèn)題的方法、公式，并找出理由加以解釋?zhuān)僮鲞@類(lèi)題時(shí)就“套”這種公式.所以用算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)，對(duì)不同類(lèi)型的題用不同的思路列式求解，解法就不同，因而用算術(shù)方法解應(yīng)用題是不帶普遍性的.代數(shù)方法的進(jìn)步首先在于找出了一個(gè)統(tǒng)一的方法，即用列“方程”來(lái)解很多不同類(lèi)型的應(yīng)用題.“方程”是代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一.用方程來(lái)解應(yīng)用題時(shí)，首先是用一些簡(jiǎn)單的符號(hào)，通常用x，y，z，t，s，u，v等字母來(lái)表示問(wèn)題中待求的未知數(shù)，然后把這些未知數(shù)和已知數(shù)平等

4、地看待，并把題目中的數(shù)量關(guān)系直接（平鋪直敘）“翻譯”為算式表示出來(lái).這就是所謂依題意列方程.接著是通過(guò)代數(shù)方程去確定其中所含未知數(shù)應(yīng)該等于什么樣的值，即“解方程”.而解方程的原理就是對(duì)方程中的數(shù)，包括已知數(shù)和未知數(shù)，運(yùn)用在“算術(shù)”中學(xué)過(guò)的“數(shù)的運(yùn)算法則”把未知數(shù)求出來(lái).因?yàn)檫@些法則是對(duì)任何數(shù)都成立的，當(dāng)然對(duì)那些暫時(shí)還不知它的值的“未知數(shù)”也應(yīng)當(dāng)成立.只要適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這些法則，一解：①算術(shù)解法：假如設(shè)有損壞，2000箱玻璃全運(yùn)到，則應(yīng)得運(yùn)貨

5、款：20005=10000（元）.和實(shí)際所得運(yùn)貨款相差：100009190=810（元）.現(xiàn)在讓我們用一箱好的換一箱損壞的玻璃，總箱數(shù)2000不變，但每換一箱所得運(yùn)貨款減少：40＋5=45（元）那么換多少箱，貨款正好減少多出來(lái)的810元呢？做除法：81045＝18（箱）.答：共換壞了18箱.②代數(shù)解法：設(shè)損壞了x箱，則沒(méi)損壞的共2000x箱.依題意列方程5（2000x）40x=919045x=10000919045x=810x=18.答