fir數(shù)字濾波器的設計方法

1、,第7章 FIR數(shù)字濾波器的設計方法,7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點7.2 FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設計法7.3 頻率抽樣法設計FIR數(shù)字濾波器7.4 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較,7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點,7.1.1 FIR數(shù)字濾波器具有線性相位的條件,對于離散線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)頻率響應 可表示為,其中 稱為濾波器的幅度響應，

2、 稱為相位響應。,幅度響應反映了濾波器對信號通過該濾波器后各頻率成分衰減的強弱，而相位響應則反映了各頻率成分通過濾波器時間上延時的多少。,濾波器具有線性相位是指相位響應 與頻率 呈線性關系，滿足：,或者,其中,都是常數(shù)。,當,也標志濾波器具有線性相位。,對于FIR濾波器，設其單位沖激響應為h(n)，長度為N，則,對應的系統(tǒng)函數(shù)為：,下面討論有限長單位沖激響應h(n)為實序列，并關

3、于,偶對稱或者奇對稱兩種情況的相位特性。,1. 有限長單位沖激響應h(n)為偶對稱,令,則有,因此，系統(tǒng)的頻率響應,幅度響應：,相位響應：,2. 有限長單位沖激響應h(n)為奇對稱,幅度響應：,相位響應：,結論：當FIR濾波器的單位沖激響應h(n)為實序列，具有偶對稱性或者奇對稱，那么該FIR濾波器具有線性相位特性。,7.1.2 線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特點,1. h(n)偶對稱，N為奇數(shù),由于N為奇數(shù),中間項為

4、 ,,其余項偶對稱 ,,關于 偶對稱，可實現(xiàn)任意形式濾波器。,2. h(n)偶對稱，N為奇數(shù),FIR濾波器的幅度響應如右圖所示。幅度響應具有以下特點：(1)當 時， 對 呈奇對稱，對 呈偶對稱。,因此，具有h(n)偶對稱，N為偶數(shù)的FIR濾波器不能用于高通濾波器或者帶阻濾波器。,3. h(n)奇對稱，N為奇數(shù),幅度響應

5、 具有以下特點：(1)當 時， 對 呈奇對稱。,因此，具有h(n)奇對稱，N為奇數(shù)的FIR濾波器只能實現(xiàn)帶通濾波器。,4. h(n)奇對稱，N為偶數(shù),幅度響應 具有以下特點：(1)當 時， 對 呈偶對稱。,因此，具有h(n)奇對稱，N為偶數(shù)的FIR濾波器不

6、能實現(xiàn)低通、帶阻濾波器。,對,呈奇對稱,7.1.3 線性相位FIR數(shù)字濾波器零點分布特點,線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：,線性相位FIR數(shù)字濾波器零點分布特點：互為共軛對稱,線性相位FIR濾波器零點分布圖,7.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設計法,7.2.1 設計原理,1.根據(jù)濾波器技術要求直接設計一個理想數(shù)字濾波器的頻率響應。,,2.求具有上述頻率響應的濾波器對應的沖激響應序列理想頻率響應的濾波器具有矩形頻率特性，因而其時域響應為

7、無限長的。,3.將求得的沖激響應序列截短，并使之具有對稱性。,下面以低通濾波器為例說明設計過程,理想低通數(shù)字濾波器的頻率響應為,式中 表示群延時，其單位沖激響應為：,從上式可以看出，理想低通濾波器的單位沖激響應 是無限長非因果序列，且具有偶對稱性，其中心點在 如下圖所示。,理想單位沖激響應,用一個有限長的窗函數(shù)序列（比如說矩形窗）來截取,截取后的實際單位沖激響應h(n)如下圖所示，它是一個以,為對稱點的

8、對稱圖形。,實際單位沖激響應,這時FIR濾波器的頻率響應為：,從上式中可以看出，F(xiàn)IR濾波器的頻率響應實際上是的傅里葉級數(shù)的有限項之和，所以窗函數(shù)法也稱為傅里葉級數(shù)法，顯然，N越大， 和 的差別就越小，但所需的計算量就越大。,7.2.2 窗函數(shù)設計法的截斷效應,根據(jù)卷積定理可知，時域相乘則頻域相卷，實際FIR濾波器的頻率特性應為：,式中 是窗函數(shù)w(n)的傅里葉變換,對于

9、理想低通濾波器：,為了保證截取的h(n)中心對稱，需保證其相移 滿足,實際濾波器的頻率響應為：,說明：1.加窗后的濾波器仍然具有線性相位； 2.加窗后濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的 幅度特性 與矩形窗的幅度特性 的卷積， 即,理想濾波器幅度特性,窗函數(shù)幅度特性,卷積結果,卷積情況,卷積情況,卷積情況,加窗處理的影響:

10、,1.理想頻率特性的邊沿形成過渡,寬度近似為窗函數(shù)頻率響應的主瓣寬度。,2.在截止頻率 的兩邊， 出現(xiàn)最大肩峰。幅度取決于窗函數(shù)幅度特性旁瓣的相對幅度。波動的次數(shù)取決于旁瓣的個數(shù)。,3.改變截取長度N，僅能改變過渡帶的寬度。不能改變 的肩峰相對值。稱為吉布斯現(xiàn)象。,7.2.3 常用窗函數(shù)及其選擇原則,1. 主瓣寬度窄，以獲得較陡的過渡帶。,窗函數(shù)選擇要求：,2. 最大旁瓣相對主瓣值盡可能小，改善通帶平穩(wěn)度和增大阻帶

11、衰減。,常用窗函數(shù)：,1.矩形窗,窗函數(shù)：,頻率響應：,2.三角窗,窗函數(shù)：,頻率響應：,3.漢寧窗（升余弦窗）,窗函數(shù)：,頻率響應：,時，頻率響應的幅度函數(shù)近似為,4.海明窗（改進升余弦窗）,窗函數(shù)：,頻率響應：,時，頻率響應的幅度函數(shù)近似為,為了便于比較和設計時參考，下表歸納常用窗函數(shù)的基本參數(shù)：,7.2.4 窗函數(shù)設計步驟,(1)首先由給定濾波器的理想頻率響應 ，利用傅里葉擬變換，求理想濾波器的單位沖激

12、響應 即：,(2)根據(jù)過渡帶以及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計窗口的大小。(3)計算濾波器的單位沖激響應,(4)檢驗設計出的數(shù)字濾波器是否滿足技術指標。,例7-1 設計一個線性相位FIR數(shù)字低通濾波器，通帶截至頻率 ，阻帶起始頻率 ，阻帶衰減不小于50dB，抽樣頻率,解: (1)由模擬濾波器指標求數(shù)字濾波器

13、指標：,通帶截至頻率：,阻帶起始頻率：,(2)確定理想線性相位數(shù)字低通濾波器的頻率響應,其對應的數(shù)字頻率,利用序列傅里葉變換擬變換，可求得理想低通濾波器的單位沖激響應：,(3)由阻帶衰減來確定窗形狀，由過渡帶確定N,由于 ，查表可知，選擇海明窗其阻帶最小衰減53dB滿足要求。所要求的過渡帶寬,由于海明窗過渡帶寬滿足,所以,(4)由海明窗表達式確定FIR濾波器的h(n)。,海明窗函數(shù)序列為：,(5)

14、由h(n)求 ，檢驗各項指標是否滿足要求，如不滿足可改變N，或改變窗函數(shù)形狀來重新計算。,7.3 頻率抽樣法設計FIR濾波器,7.3.1 設計原理,2.根據(jù)傅立葉變換的特性，N點頻響采樣通過傅立葉反變換成N點時域序列，即為FIR濾波器時域沖激響應,1.對理想濾波器頻響進行N點采樣,設序列h(n)長度為M，H(z)=Z[h(n)]，在單位圓上等間隔抽樣N點，得到,只要抽樣點數(shù)N與序列長度M滿足

15、 ，則M個頻域抽樣值H(k)能夠不失真地代表該有限長序列h(n)，,由此可見，只要知道FIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應h(n)的長度N，頻率響應函數(shù)在 上的N點等間隔抽樣就可以確定濾波器的單位沖激響應h(n)或者系統(tǒng)函數(shù)H(z)其濾波器的頻率響應 為,因此，頻率抽樣法就是根據(jù)頻域抽樣理論，將待設計的濾波器的頻率響應 ，在 到

16、 之間進行等間隔抽樣N點，得到 ，即,然后再利用,求得H(k)和h(n)以及,7.3.2 頻率抽樣法的優(yōu)化設計,在頻率采樣點上，實際濾波器頻率響應與理想濾波器頻率響應的數(shù)值嚴格相等。在頻率采樣點之間，實際濾波器頻率響應由各采用點的加權插值形成，與理想濾波器頻率響應存在誤差。理想濾波器頻率響應變化越平緩，插值結果與實際頻響曲線越接近。增加采樣點可以減小插值誤差。,優(yōu)化措施：在實際的設計過程中，通常在理想頻率響應不連

17、續(xù)點的邊緣增加一些過渡的抽樣點，一般增加1~3個。,7.3.3 線性相位與抽樣的約束,1.頻率抽樣的兩種方法,第一種：起始點在,第二種：起始點在,2. 線性相位的約束,(1)第一類線性相位FIR濾波器，h(n)=h(N-1-n)，N為奇數(shù),(2)第二類線性相位FIR濾波器，h(n)=h(N-1-n)，N為偶數(shù),幅度值：,相位值：,幅度值：,相位值：,(3)第三類線性相位FIR濾波器，h(n)=-h(N-1-n)，N為奇數(shù),幅度值：,相

18、位值：,(4)第四類線性相位FIR濾波器，h(n)=-h(N-1-n)，N為偶數(shù),幅度值：,相位值：,7.3.4 頻率抽樣法的設計步驟,(1)根據(jù)理想濾波器性能指標，計算在通帶和阻帶中的抽樣點數(shù)，確定濾波器沖激響應的對稱性。,(2)根據(jù)單位沖激響應 的對稱性，計算抽樣點的幅度,和相位 。,(3)由 求,(4)檢驗是否滿足設計要求,若不滿足,修

19、改抽樣點參數(shù),,重復(1)、(2)、(3)步計算直至滿足要求。,例7-2 利用頻率抽樣法設計線性相位低通濾波器，單位沖激響應滿足h(n)=h(N-1-n)，幅度相應為,要求截止頻率 ，抽樣點數(shù)N=33。討論過渡點數(shù)以及過渡點的取值大小對濾波器的影響。,解： (1)首先確定截止頻率所處的位置。因為抽樣點數(shù)N=33，抽樣間隔 ，所以， 即

20、截止頻率位于第8個抽樣與第9個抽樣點之間，取,(2)確定各抽樣點的幅度和相位大小由于屬于第一類線性相位FIR濾波器設計，所以得,(3)利用IDFT求FIR濾波器的單位沖激響應,由抽樣的幅度和相位值求理想濾波器頻率響應 的抽樣點,然后求所設濾波器的單位沖激響應,(4)最后計算所設FIR濾波器的頻率響應 。,在第2步中可以設置過渡點，例如在本題中，可把第9點和第24點作為不為零的過渡點。,7.4

21、 IIR和FIR濾波器的比較,1.IIR利用模擬濾波器設計結果。簡單、方便，有簡 單的解析式，不容易實現(xiàn)線性相位。 FIR直接設計，計算復雜。需要計算機輔助進行設計。容易實現(xiàn)嚴格的線性相位。2. IIR實現(xiàn)階數(shù)低，實現(xiàn)成本低。FIR階數(shù)比IIR高5～10倍，實現(xiàn)成本高。3.IIR是遞歸結構，運算精度要求高。FIR是非遞歸結構，穩(wěn)定性好，運算精度要求低?？梢圆捎肍FT算法提高運算速度。4.IIR主要用于語音處理，語言通信等要求