將軍飲馬問題講義

1、將軍飲馬問題唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.“詩中隱含著一個有趣的數學問題.如圖所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點宿營.請問怎樣走才能使總的路程最短這個問題早在古羅馬時代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者，名叫海倫.一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題.將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的B地開會，應該

2、怎樣走才能使路程最短從此，這個被稱為“將軍飲馬“的問題廣泛流傳.將軍飲馬問題=軸對稱問題=最短距離問題（軸對稱是工具，最短距離是題眼）。所謂軸對稱是工具，即這類問題最常用的做法就是作軸對稱。而最短距離是題眼，也就意味著歸類這類的題目的理由。比如題目經常會出現線段ab這樣的條件或者問題。一旦出現可以快速聯想到將軍問題，然后利用軸對稱解題。一六大模型1.如圖，直線l和l的異側兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PAPB最小。2.如圖，直線l

3、和l的同側兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PAPB最小。3.如圖，點P是∠MON內的一點，分別在OM，ON上作點A，B。使△PAB的周長最小.4.如圖，點P，Q為∠MON內的兩點，分別在OM，ON上作點A，B。使四邊形PAQB的周長最小。5.如圖，點A是∠MON外的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線OM的距離之和最小【解答】解：（1）設拋物線解析式為y=a（x﹣1）（x﹣4），把C（0，3）代入得a?（﹣1）?（﹣4）=3

4、，解得a=，所以拋物線解析式為y=（x﹣1）（x﹣4），即y=x2﹣x3；（2）存在因為A（1，0）、B（4，0），所以拋物線的對稱軸為直線x=，連結BC交直線x=于點P，如圖，則PA=PB，PAPC=PCPB=BC，此時PCPA最短，所以此時四邊形PAOC的周長最小，因為BC==5，所以四邊形PAOC周長的最小值為315=9【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰

5、當的方法設出關系式，從而代入數值求解一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解也考查了最短路徑問題2（2015?上城區(qū)一模）設拋物線y=（x1）（x﹣2）與x軸交于A、C兩點（點A在點C的左邊），與y軸交于點B（1）求A、B、C三點的坐標；（2）已知點D在坐標平面內，△ABD是頂角