第二章 分離變量法(§2.2,§2.3)

1、2.2有限桿上的熱傳導(dǎo)有限桿上的熱傳導(dǎo)定解問題：定解問題：一均勻細桿，長為，兩端坐標為。桿的側(cè)面絕熱，且llxx??0在端點處溫度為零，而在處桿的熱量自由發(fā)散到周圍溫度為0的介0?xlx?質(zhì)中。初始溫度為，求桿上的溫度變化情況，即考慮下定解問題：)(x?.0)(u00hu0u0l0000222lxxtxutxxuatutlxx??????????????????????仍用分離變量法求解。此定解問題的邊界條件為第三類邊界條件。類似2.1

2、中步驟，設(shè)，代入上面的方程可得)()()(tTxXtxu??????????????.0)()(0)()()()()()(22222xXxXtTatTxTaxTxXxX???從而可得通解xBxAxX??sincos)(??由邊界條件知.0)()(0)0(???lhXlXX從而???????????.tan0sincos0hllhlA?????令???????????tan1hll上方程的解可以看作曲線，交點的橫坐標，顯然他們有無窮?ta

3、n1?y???2y多個，于是方程有無窮多個根。用下符號表示其無窮多個正根??21n???于是得到特征值問題的無窮個特征值從而得到定解問題得解。???????lnnnnntanxdxxLCxeCtxun01sin)(1sin)(22????2.3圓域內(nèi)的二維圓域內(nèi)的二維Laplace方程的定解問題方程的定解問題平面極坐標和直角坐標的關(guān)系是)(??)(yx.sincos??????yx由此可得dydxddydxdyx???????????c