初中數學中 “數形結合”的運用

1、1初中數學中初中數學中“數形結合數形結合”的運用的運用一、以數助形一、以數助形“數（代數）”與“形（幾何）”是中學數學的兩個主要研究對象，而這兩個方面是緊密聯系的體現在數學解題中，包括“以數助形”和“以形助數”兩個方面“數”與“形”好比數學的“左右腿”全面理解數與形的關系，就要從“以數助形”和“以形助數”這兩個方面來體會此外還應該注意體會“數”與“形”各自的優(yōu)勢與局限性，相互補充“數缺形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家

2、萬事非”華羅庚的這四句詩很好地總結了“數形結合、優(yōu)勢互補”的精要，“數形結合”是一種非常重要的數學方法，也是一種重要的數學思想，在以后的數學學習中有重要的地位要在解題中有效地實現“數形結合”，最好能夠明確“數”與“形”常見的結合點，，從“以數助形”角度來看，主要有以下兩個結合點：（1）利用數軸、坐標系把幾何問題代數化（在高中我們還將學到用“向量”把幾何問題代數化）；（2）利用面積、距離、角度等幾何量來解決幾何問題，例如：利用勾股定理證明

3、直角、利用三角函數研究角的大小、利用線段比例證明相似等例1已知平面直角坐標系中任意兩點和之間的距離可以用公式11()Axy小22()Bxy小計算利用這個公式計算原點到直線的距離221212()()ABxxyy????210yx??解：設是直線上的任意一點，它到原點的距離是(210)Pxx?小210yx??222(0)(2100)5(4)20OPxxx????????當時，4x??25OP?小小所以原點到直線的距離為210yx??25【說

4、明】建立坐標系，利用坐標及相關公式處理一些幾何問題，有時可以避免添加輔助線（這是平面幾何的一大難點）在高中“解析幾何”里，我們將專門學習利用坐標將幾何問題代數化例2已知的三邊長分別為、和（m、n為正整數，且）求ABC?22mn?2mn22mn?mn?的面積（用含m、n的代數式表示）ABC?【分析分析】已知三角形三邊求面積一般稱為“三斜求積”問題，可用“海倫公式”計算，但運用“海倫公式”一般計算比較繁，能避免最好不用本題能不能避免用“海倫

5、公式”，這要看所給的三角形有沒有特殊之處代數運算比較過硬的人可能利用平方差公式就可以心算出來：，也就是說，的三邊滿足勾股定理，即222222222()()(2)(2)(2)mnmnmnmn?????ABC?是一個直角三角形ABC?“海倫公式”：三角形三邊長為a、b、c，p為周長的一半，則三角形的面積S為：()()()Sppapbpc????解：由三邊的關系：2222222()(2)()mnmnmn????所以是直角三角形ABC?所以的面

6、積ABC?22221()(2)()2mnmnmnmn?????【說明】利用勾股定理證明垂直關系是比較常用的“以數助形”的手法另外，熟練的代數運3種數學思想的一種具體體現二、以形助數二、以形助數幾何圖形具有直觀易懂的特點，所以在談到“數形結合”時，更多的老師和學生更偏好于“以形助數”，利用幾何圖形解決代數問題，常常會產生“出奇制勝”的效果，使人愉悅幾何直觀運用于代數主要有以下幾個方面：（1）利用幾何圖形幫助記憶代數公式，例如：正方形的分割

7、圖可以用來記憶完全平方公式；將兩個全等的梯形拼成一個平行四邊形可以用來記憶梯形面積公式；等等（2）利用數軸或坐標系將一些代數表達式賦予幾何意義，通過構造幾何圖形，依靠直觀幫助解決代數問題，或者簡化代數運算比如：絕對值的幾何意義就是數軸上兩點之間的距離；數的大小關系就是數軸上點的左右關系，可以用數軸上的線段表示實數的取值范圍；互為相反數在數軸上關于原點對稱（更一般地：實數與在數軸上關于對稱，換句話說，ab2ab?數軸上實數關于的對稱點為）

8、；ab2ba?利用函數圖像的特點把握函數的性質：一次函數的斜率（傾斜程度）、截距，二次函數的對稱軸、開口、判別式、兩根之間的距離，等等；一元二次方程的根的幾何意義是二次函數圖像與軸的交點；x函數解析式中常數項的幾何意義是函數圖像與軸的交點（函數在時有意義）；y0x?銳角三角函數的意義就是直角三角形中的線段比例例5已知正實數，求的最小值x224(2)1yxx?????分析分析：可以把整理為，224(2)1xx????2222(0)(02)

9、(2)(01)xx???????即看作是坐標系中一動點到兩點（0，2）和（2，1）的距(0)x小離之和，于是本問題轉化為求最短距離問題解：，2222(0)(02)(2)(01)yxx????????令、A（0，2）和B（2，1），則(0)Px小yPAPB??作B點關于x軸的對稱點，則y的最小值為(21)B?小223213AB???例6已知，，求證：1tan2??1tan3??45?????【分析分析】根據正切函數的意義不難構造出滿足條件