依分布收斂與中心極限定理

1、第四章第四章第四章第四章極限定理極限定理1依分布收斂與中心極限定理依分布收斂與中心極限定理一、一、一、分布函數(shù)弱收斂一、分布函數(shù)弱收斂二、性質(zhì)二、性質(zhì)三、中心極限定理三、中心極限定理概率論早期發(fā)展的目的在于揭示由于大量隨機(jī)因素產(chǎn)生影響而呈現(xiàn)的規(guī)律性.貝努里首先認(rèn)識(shí)到研究無(wú)窮隨機(jī)試驗(yàn)序列的重要性，并建立了概率論的第一個(gè)極限定理——大數(shù)定律，清楚地刻畫(huà)了事件的概率與它發(fā)生的頻率之間的關(guān)系.棣莫佛和拉普拉斯提出將觀察的誤差看作大量獨(dú)立微小誤差

2、的累加，證明了觀察誤差的分布一定漸近正態(tài)——中心極限定理.隨后，出現(xiàn)了許多各種意義下的極限定理.這些結(jié)果和研究方法對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用的許多領(lǐng)域有著重大影響.本章著重介紹上述大數(shù)定律和中心極限定理等有關(guān)內(nèi)容.1依分布收斂與中心極限定理依分布收斂與中心極限定理我們知道，如果ξ是概率空間(ΩFP)上的隨機(jī)變量，那么它的分布函數(shù)F(x)=P(ξ?x)刻畫(huà)了它的全部概率性質(zhì).因此，對(duì)隨機(jī)變量序列的研究就必須首先對(duì)相應(yīng)的分布函數(shù)序列作深入研

3、究.一、分布函數(shù)弱收斂一、分布函數(shù)弱收斂定義定義1設(shè)F是一分布函數(shù)，F(xiàn)n是一列分布函數(shù)，如果對(duì)F的每個(gè)連續(xù)點(diǎn)x?R，都有Fn(x)→F(x)(n→∞)，則稱Fn弱收斂(weakconvergence)于F，記作FnW???F.設(shè)ξ是一隨機(jī)變量，?n是一列隨機(jī)變量，如果?n的分布函數(shù)列弱收斂于ξ的分布函數(shù)，則稱?n依分布收斂(convergenceindistribution)于ξ，記作?nd???ξ.注1注1分布函數(shù)逐點(diǎn)收斂的極限函數(shù)未

4、必是分布函數(shù).例如Fn(x)=???10.nxnx??該分布函數(shù)列處處收斂于0但G(x)?0不是分布函數(shù).因此對(duì)一般的分布函數(shù)列，要它們逐點(diǎn)收斂于分布函數(shù)，要求是過(guò)高了，不得不如定義1加上限制.注2定義1中的限制條件“對(duì)F的每個(gè)連續(xù)點(diǎn)x，F(xiàn)n(x)→F(x)”是足夠?qū)挼?，例如Fn(x)F(xh))()()()(hxFrFxFrFji?????.(3)另外，存在N(?)使得當(dāng)n?N()?時(shí)2|)()(|???iinnrFrF2|)()(|

5、???jjnnrFrF.(4)進(jìn)而由Fn和F的單調(diào)性，當(dāng)n?N()?時(shí)，???????????)(2)(2)()()(xFhxFrFrFxFjjnnnn???????????)(2)(2)()()(xFhxFrFrFxFiinnnn.綜合得到|???|)()(xFxFnn.(5)(2)式得證.由F的定義(1)，在它的不連續(xù)點(diǎn)上是右連續(xù)的.定理1證畢.定理定理2（海萊第二定理海萊第二定理）設(shè)F是一分布函數(shù)，F(xiàn)n是一列分布函數(shù)，F(xiàn)n???W

6、F.如果g(x)是R上的有界連續(xù)函數(shù)，則?????????)()()()(xdFxgxdFxgn.(6)證因?yàn)間是有界函數(shù)，必存在c0使得|g(x)|0可以選取a0使得a是F的連續(xù)點(diǎn)，并且F(a)?12c1F(a)?12c.(7)由于FnW???F，存在N1()?使得當(dāng)n?N1()?時(shí)|Fn(a)F(a)|?12c|1Fn(a)(1F(a))|?12c(8)這樣我們有|???????????????aaaannxdFxgxdFxgxdF

7、xgxdFxg|)()()()()()()()(?c))(1)(1)()((aFaFaFaFnn????????c[|nF(a)F(a)|2F(a)|1nF(a)(1F(a))|2(1F(a))]?2.(9)下面考慮?????aaaanxdFxgxdFxg)()()()(||.由于g(x)在閉區(qū)間[aa]上一致連續(xù)，可以選取axxxam???????10使得所有xi是F的連續(xù)點(diǎn)，且iixxx???1max|g(x)g(ix)|?8.于是