數學研究課題---空間幾何體的外接球與內切球問題

1、1數學研究數學研究課題課題空間幾何體的外接球與內切球幾何體的外接球與內切球問題問題例1用兩個平行平面去截半徑為的球面，兩個截面圓的半徑為，Rcmr241?兩截面間的距離為，求球的表面cmr152?cmd27?積分析：分析：此類題目的求解是首先做出截面圖，再根據條件和截面性質做出與球的半徑有關的三角形等圖形，利用方程思想計算可得解：解：設垂直于截面的大圓面交兩截面圓于，2211BABA上述大圓的垂直于的直徑交于，如11BA2211BABA

2、21OO圖2設，則，解得2211dOOdOO?????????????2222222121152427RdRddd25?R)(2500422cmRS?????體說明：說明：通過此類題目，明確球的有關計算問題需先將立體問題轉化為平面問題，進一步熟悉有關圓的基礎知識，熟練使用方程思想，合理設元，列式，求解例2自半徑為的球面上一點，引球的三條兩兩垂直的弦，求RMMCMBMA的值222MCMBMA??分析：分析：此題欲計算所求值，應首先把它們放

3、在一個封閉的圖形內進行計算，所以應引導學生構造熟悉的幾何體并與球有密切的關系，便于將球的條件與之相聯解：解：以為從一個頂點出發(fā)的三條棱，將三棱錐補成一個長MCMBMAABCM?方體，則另外四個頂點必在球面上，故長方體是球的內接長方體，則長方體的對角線長是球的直徑=?222MCMBMA??224)2(RR?說明：說明：此題突出構造法的使用，以及滲透利用分割補形的方法解決立體幾何中體積計算例3試比較等體積的球與正方體的表面積的大小分析：分析

4、：首先抓好球與正方體的基本量半徑和棱長，找出等量關系，再轉化為其面積的大小關系解：解：設球的半徑為，正方體的棱長為，它們的體積均為，raV3解：解：∵棱錐底面各邊相等，∴底面是菱形∵棱錐側棱都相等，∴側棱在底面上射影都相等，即底面有外接圓∴底面是正方形，且頂點在底面上的射影是底面中心，此棱錐是正棱錐過該棱錐對角面作截面，設棱長為，則底面對角線，aaAC2?故截面是等腰直角三角形SAC又因為是球的大圓的內接三角形，所以，即SACRAC2?

5、Ra2?∴高，體積RSO?33231RSOSV???底說明：說明：在作四棱錐的截面時，容易誤認為截面是正三角形，如果作平等于底面一邊的對稱截面（過棱錐頂點，底面中心，且與底面一邊平行），可得一個腰長為斜高、底為底面邊長的等腰三角形，但這一等腰三角形并不是外接球大圓的內接三角形可見，解決有關幾何體接切的問題，如何選取截面是個關鍵解決此類問題的方法通常是先確定多面體的棱長（或高或某個截面內的元素）與球半徑的關系，再進一步求解例6在球面上有四

6、個點、、、，如果、、兩兩互相垂直，且PABCPAPBPC求這個球的表面積aPCPBPA???分析：分析：，因而求球的表面關鍵在于求出球的半徑24RS??球面R解：解：設過、、三點的球的截面半徑為，ABCr球心到該圓面的距離為，d則222drR??由題意知、、、四點不共面，因而是以這四個點為頂點的三棱錐PABC（如圖所示）的外接圓是球的截面圓ABCP?ABC?由、、互相垂直知，在面上的射影是的垂心，又PAPBPCPABCOABC?，aPC