三線(xiàn)共點(diǎn)之探討

1、三線(xiàn)共點(diǎn)之探討一、研究動(dòng)機(jī)在國(guó)立臺(tái)灣師范大學(xué)的某研究所，開(kāi)了一門(mén)國(guó)中生的幾何課程，我正好有機(jī)會(huì)參加這項(xiàng)學(xué)習(xí)。有一回上課中，我們這一組的指導(dǎo)老師給了一道幾何證明題，我從題目的圖形中發(fā)現(xiàn)了題外的一個(gè)可能，這個(gè)圖形是：在一個(gè)三角形的三邊上，分別向外做一個(gè)等邊三角形（如右圖）。我直覺(jué)認(rèn)為，原三角形分別與三個(gè)等邊三角形所組成的四邊形的三條對(duì)角線(xiàn)可能會(huì)相交于同一點(diǎn)，還有那些情況下，三條線(xiàn)會(huì)相交于同一點(diǎn)？我認(rèn)為很值得再進(jìn)一步研究，于是找了幾位同學(xué)共同

2、研究。二、研究目的(一)、與三角形相關(guān)的三條直線(xiàn)什么情況下會(huì)共點(diǎn)？(二)、與各種多邊形相關(guān)的三條直線(xiàn)什么情況下會(huì)共點(diǎn)？(三)、與若干個(gè)多邊形所組合的圖形相關(guān)的三條直線(xiàn)什么情況下會(huì)共點(diǎn)？(四)、圓形與多邊形所組合的圖形相關(guān)的三條直線(xiàn)什么情況下會(huì)共點(diǎn)？三、研究器材紙、筆、計(jì)算機(jī)、TheGeometersSketchpad四、研究過(guò)程幾何的基本圖形從各類(lèi)三角形、四邊形、多邊形和圓形。要使圖形產(chǎn)生變化的圖形構(gòu)成元素：點(diǎn)（頂點(diǎn)、中點(diǎn)、切點(diǎn)）、線(xiàn)（

3、直線(xiàn)、線(xiàn)段）、角。由這些元素在限定條件下，直接使圖形產(chǎn)生變化的線(xiàn)有：中線(xiàn)、垂線(xiàn)、中垂線(xiàn)、分角線(xiàn)、對(duì)角線(xiàn)、并行線(xiàn)、切線(xiàn)等。角隨著角度、位置之不同分為：銳角、直角、鈍角、內(nèi)角、外角等。為了要得到三條線(xiàn)可以相交在同一點(diǎn)（共點(diǎn)），我們采取處理問(wèn)題時(shí)重要的科學(xué)方法，那就是觀察與實(shí)驗(yàn)，在獲得事實(shí)之后，再?lài)L試?yán)盟鶎W(xué)到的知識(shí)加以證明，觀察后的實(shí)驗(yàn)部分我們完全依靠TheGeometersSketchpad（ＧＳＰ）來(lái)進(jìn)行。(一)、觀察與實(shí)驗(yàn)：１、與三角

4、形相關(guān)的三條直線(xiàn)什么情況下會(huì)共點(diǎn)？(１)、三角形三邊的中垂線(xiàn)共點(diǎn)（如圖一）。(２)、三角形的三中線(xiàn)共點(diǎn)（如圖二）。(３)、三角形三分角線(xiàn)共點(diǎn)（如圖三）。未發(fā)現(xiàn)三線(xiàn)共點(diǎn)。（如圖十四）(６)、三角形三邊分別向外作三個(gè)矩形，原三角形頂點(diǎn)與矩形外邊中點(diǎn)聯(lián)機(jī)，若矩形不相似，則未發(fā)現(xiàn)三線(xiàn)不共點(diǎn)。（如圖十三）４、圓形與多邊形所組合的圖形相關(guān)的的三條直線(xiàn)什么情況下會(huì)共點(diǎn)？(１)、圓形外切四邊形，在對(duì)角線(xiàn)、對(duì)邊切點(diǎn)聯(lián)機(jī)、頂點(diǎn)與非夾邊切點(diǎn)聯(lián)機(jī)，發(fā)現(xiàn)多組三線(xiàn)

5、共點(diǎn)。（如圖十五）(２)、圓形外切五邊形，在對(duì)角線(xiàn)、對(duì)邊切點(diǎn)聯(lián)機(jī)、頂點(diǎn)與非夾邊切點(diǎn)聯(lián)機(jī)，發(fā)現(xiàn)多組三線(xiàn)共點(diǎn)。（如圖十六）(３)、圓形外切六邊形，在對(duì)角線(xiàn)、對(duì)邊切點(diǎn)聯(lián)機(jī)、頂點(diǎn)與非夾邊切點(diǎn)聯(lián)機(jī)，發(fā)現(xiàn)多組三線(xiàn)共點(diǎn)。（如圖十七）(４)、圓形外切七邊形，在對(duì)角線(xiàn)、切點(diǎn)聯(lián)機(jī)、頂點(diǎn)與非夾邊切點(diǎn)聯(lián)機(jī)，發(fā)現(xiàn)多組三線(xiàn)共點(diǎn)。（如圖十八）(二)、歸納與證明：根據(jù)以上以TheGeometersSketchpad（ＧＳＰ）繪出圖形所發(fā)現(xiàn)三線(xiàn)共點(diǎn)情形佐以證明如下：１、