管理統(tǒng)計學第3章--非參數(shù)假設檢驗

1、第3章 非參數(shù)假設檢驗（分布檢驗）,3.1 兩個總體分布的非參數(shù)假設檢驗3.1.1 檢驗兩個總體的分布是否相同的第一種方法：符號檢驗法（正負號個數(shù)檢驗法）3.1.2 檢驗兩個總體的分布是否相同的第二種方法：Wilcoxon秩和檢驗法（序號和檢驗法）3.1.3 檢驗兩個總體的分布是否相同的第三種方法：Mann-Whitney秩和檢驗法（序號和檢驗法）3.1.4 兩個總體分布的非參數(shù)檢驗小結,實際問題中，經常要檢驗兩種不同的處理方

2、法效果是否相同。 例如，比較在不同鉆機、不同操作人員、不同地質條件下，鉆機效率是否相同等等。 諸如此類問題是對兩個總體的分布是否相同的檢驗。本章主要介紹兩種簡單易行的方法：“符號檢驗法”和“秩和檢驗法”。,3.1 兩個總體分布的非參數(shù)假設檢驗,3.1.1 檢驗兩個總體的分布是否相同的第一種方法：符號檢驗法（正負號個數(shù)檢驗法）,配對樣本,,配對樣本：按某些重要特征相近的原則，可將兩樣本中的每一個體配成對子，這兩組樣本稱

3、為配對樣本。配對樣本的屬性：1）兩樣本的觀察數(shù)量應相同；2）兩樣本觀察順序不能各自獨立地顛倒。,配對樣本的概念及屬性,配對樣本可以是同一研究對象分別給于兩種不同處理的效果比較的觀察值；或，同一研究對象處理前后的效果比較的觀察值。,例：某種干電池，在一定溫度下存放之后它的電壓有可能升高也可能降低。我們取10個樣品做實驗。數(shù)據(jù)如下：,這兩組觀察數(shù)據(jù)即為配對樣本。,配對樣本示例,例：為了探索長跑對學生體質發(fā)展的影響，隨機抽取同年齡男生

4、８名，經５個月長跑訓練，觀測訓練前、后心臟功能是否有所增強，用晨脈這個指標來反映，訓練前、后的晨脈測試結果如下表，問長跑對晨脈的影響有無顯著意義？,這兩組觀察數(shù)據(jù)即為配對樣本。,例：現(xiàn)有18名學生按身體條件大體相近配成９對，并用隨機分組將他們分為甲、乙兩組，由一位教師采用不同的教法執(zhí)教一年，一年后測得她們的平衡術成績（見下表），問兩種不同教法的效果是否有顯著差異？,這兩組觀察數(shù)據(jù)即為配對樣本。,,令xi>yi的事件為Ai ,其取值

5、為1，0 于是A=A1+A2+...+An服從二項分布即，在H0：F(x)=G(y)的假設下，可以把抽樣過程看成一個近似的貝努利實驗，服從B(m,p)分布。,1. 小樣本情況下，正負號個數(shù)檢驗法的處理（方法一）,如果實際的“xi-yi>0 的個數(shù)n+”在（k1,k2）中，就接受H0:p=0.5（即F(x)=G(y)），否則，拒絕H0，認為p≠0.5，即F(x)≠G(y)。,1. 小樣本情況下，正負號個數(shù)檢驗法的處理

6、（方法二）,（1）建立假設 零假設H0 ：備擇假設H1 ：（2）計算差值d并賦予符號d=xi-yid＞0，記為“+”，總個數(shù)記為n+d＜0，記為“-”, 總個數(shù)記為n- d=0， 記為“0”, 總個數(shù)記為n0m= n++ n- 檢驗的統(tǒng)計量為K，K為n+、n-中的較小者，即 K=min{n+,n-},（3）統(tǒng)計推斷 由m查表得臨界值K0.05(m)，K0.01(m)，作統(tǒng)計推斷：

7、 如果K＞K0.05(m)，即P＞0.05，則不能否定HO，兩個試驗處理差異不顯著； 如果K0.01(m)＜K≤K0.05(m)，即0.01＜P≤0.05，則否定HO，接受H1，兩個試驗處理差異顯著； 如果K≤K0.01(m)，即P≤0.01，則否定HO，接受H1，兩個試驗處理差異極顯著。,符號檢驗統(tǒng)計判斷規(guī)則,例：研究人員將三歲兒童經配對而成的實驗組進行顏色試驗教學，對照組不進行此種教學。后期測驗得分如下表。

8、問顏色教學是否有顯著效果？已知K0.05(10)=1。,解：（1）建立假設。H0 ：顏色教學無顯著效果；H1 ：顏色教學有顯著效果（2）求差數(shù)并記符號，差值計算列于下表。 由表可知，n+=7, n-=3,于是，m=n++n-=10。將n+和n-中的較小者記為K，K=3。（3）統(tǒng)計推斷 根據(jù)m=10，查符號檢驗表找臨界值，K0.05(10)=1，而K> K0.05(10)，不顯著。即，接受原假設，認為：顏色教學

9、無顯著效果。,練習∶ 某研究測定了噪聲刺激前后15只羊的心率，結果見下表。問噪聲對羊的心率有無顯著影響？ 已知， K0.05(15)=3 ， K0.01(15) = 2 。,羊噪聲刺激前后的心率（次/分鐘）,解：（1）提出原假設與備擇假設H0 ：噪聲對羊的心率無顯著影響； H1 ：噪聲對羊的心率有顯著影響。 （2）計算差值并賦予符號，噪聲刺激前后的差值符號列于下表。 從而得n+=2 ，n-=13，n=2

10、+13=15， K=min｛ n+,n-｝= n+=2 。（3）統(tǒng)計推斷 當n=15時， 臨界值K0.05(15)=3，K0.01(15)=2， 因為K=2=K0.01(15)，表明噪聲刺激對羊的心率影響極顯著。,羊噪聲刺激前后的心率（次/分鐘）,2. 大樣本情況下，正負號個數(shù)檢驗法的處理,p=0.5,例3.1.1 用兩套問卷測試20個管理人員的素質，兩套問卷的滿分都是200分。測試結果如下表所示。問：兩套問卷有無

11、顯著差異（本質是兩套問卷的結果的分布是否相同？）,分析：,依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算出正負號，列于下表。,此時，正負號的總個數(shù)m=19，所要檢驗的參數(shù)p=0.5，m×p≈10（略小于10），還可勉強作為大樣本處理。統(tǒng)計出此例中正號的個數(shù)n+=12。,符號檢驗法總結,符號檢驗法一般用于同一研究對象分別給于兩種不同處理的效果比較，或，同一研究對象處理前后的效果比較。符號檢驗法的缺點:沒有充分利用數(shù)據(jù)本身提供的信息，而且必須在數(shù)據(jù)成對

12、時使用。如果兩樣本數(shù)據(jù)不成對，則可用秩和檢驗法。,3.1.2 檢驗兩個總體的分布是否相同的第二種方法：Wilcoxon秩和檢驗法（序號和檢驗法）,兩組樣本可以是各自獨立顛倒順序的。,如果有兩個以上重復的數(shù)，則取秩號平均數(shù)作為其秩。,把樣本個數(shù)少的這組樣本（x1, x2, …,xn）的序號（秩）加總起來，記為w。,秩次(rank)——將數(shù)值變量值從小到大，或等級變量值從弱到強所排列的序號。例1 11只大鼠存活天數(shù)：存活天數(shù)4

13、，10，7，50，3，15，2，9，13，>60，>60秩次 3 6 4 9 2 8 1 5 7 10 11 10.5 10.5例2 7名 肺炎

14、病人的治療結果：危險程度 治愈 治愈 死亡 無效 治愈 有效 治愈秩次 1 2 7 6 3 5 4平均秩次 2.5 2.5 7 6 2.5 5 2.5,非參數(shù)統(tǒng)計方法—秩和檢驗法(均基于秩次),,,,秩次相同(tie)取平均秩次?。?,,,,檢驗的具體步驟：第一步：將兩個樣本數(shù)據(jù)混合并由小

15、到大進行等級排列（最小的數(shù)據(jù)秩次編為1，最大的數(shù)據(jù)秩次編為 ）。,第二步：把容量較小的樣本中各數(shù)據(jù)的等級相加，即秩和，用,表示。,第三步：把,值與秩和檢驗表中某,顯著性水平下的臨界值相比較，如果,≤,或,≥,，則表明兩樣本差異顯著。,注意：若兩組例數(shù)相等，則任取一組的秩和為統(tǒng)計量，若兩組例數(shù)不等，則以樣本例數(shù)較小者對應的秩和為統(tǒng)計量。,例1 請分析高中生和大學生的每周上網時間是否有差別？,表1 高中生與大學生的每周平均上

16、網時間比較（小時/周）,1. 建立檢驗假設，確定檢驗水準α： H0：兩個總體的分布位置相同，即高中生和大學生的每周平均上網時間的總體分布相同； H1：兩個總體的分布位置不同，即高中生和大學生的每周平均上網時間的總體分布不同。 α=0.05,秩和檢驗的步驟(兩個樣本的容量均小于10的檢驗方法),表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,表1 高中

17、生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,,,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,,,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,,,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,,,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較

18、（小時/周）,,,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,,,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,,,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,,,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,,,,,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,,,,,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,,,,,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/

19、周）,,,,,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,,,,,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,,,,,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,,,,,,,,,T=54.5,表1 高中生與大學生的每周平均上網時間比較（小時/周）,秩和檢驗的步驟,5. 查表確定P值，作出推斷結論。（附表10）,,,,TL,TU,例：某藥廠生產殺蟲藥品，檢查兩種配方藥品殺蟲的效果（死亡百分數(shù)）如下：

20、問兩種配方殺蟲效果有無顯著差異？,解: 假設H0：F(x)=G(y) （兩總體的分布相同）將數(shù)據(jù)按秩號排列，并將數(shù)據(jù)少的甲組數(shù)據(jù)的可能值用藍色表示。,甲組的秩W=4.5+4.5+7.5+9.5+9.5+11.5+13.5+15.5=76在α＝0.05下查秩和檢驗表，n1=8,n2=9時，W1=54, W2=90, W1<W<W2 ,所以判定甲、乙兩種配方的殺蟲效果無顯著差異。,例2 某年級隨機抽取6名男生和8名女

21、生的英語考試成績如表所示。問該年級男女生的英語成績是否存在顯著差異？,13 7 14 12 5.5 11 4 2 10 8 1 3 5.5 9,男秩次 女秩次,92 78 94 88 76 87 69 52 86 80 47

22、 63 76 82,男 女,,,,,,,解：檢驗步驟：（1）建立假設：,：男女生的英語成績不存在顯著差異,：男女生的英語成績存在顯著差異,（2）編排秩次，求秩和：,= 13 + 7 + 14 + 12 + 5.5 + 11= 62.5,（3）統(tǒng)計推斷：根據(jù),=6，,=8 ，,=0.05， 查秩和檢驗表，,的上、下限分別為,= 32，,=58，有,>,，結論是：男女生的英語成績存在顯著差異。,設（

23、25,23,22,23,21,23,,19,20）和（28,26,24,25,23,20,18,21,15）為兩個簡單隨機抽樣，試用秩和檢驗法判斷這兩組數(shù)據(jù)是否來自同一總體？,3.1.3 檢驗兩個總體的分布是否相同的第三種方法：Mann-Whitney秩和檢驗法（序號和檢驗法）,（曼-惠特尼秩和檢驗法）,曼—惠特尼U檢驗曼—惠特尼U檢驗與威爾科克森帶符號等級檢驗基本一致。這種方法通常稱為等級和檢驗（rank-sumtest），可用于檢

24、驗兩個獨立樣本是否來自相同均值的總體，或用于檢驗兩個總體A和B的相對次數(shù)分布是否相同。這種方法的特點是用順序數(shù)據(jù)，而不是正負號，因此它比符號檢驗對數(shù)據(jù)的運用更充分。曼—惠特尼U檢驗的步驟：（兩個樣本容量不超過10 ）從兩個總體A 和B 中隨機抽取容量為n1和n2的兩個獨立隨機樣本，將（n1+n2）個觀察值但大小順序排列，指定1為最小觀察值，指定2為第二個觀察值，以此類推。如果存在相同的觀察值，則用他們的位序平均數(shù)。2. 計算兩

25、個樣本等級和UA和UB。,3. 根據(jù)UA和UB即可給出曼—惠特尼U檢驗公式。計算得到的兩個U值不相等。但他們的和總是等于n1n2。若以UA和UB表示兩個U值，則其檢驗統(tǒng)計量公式為：,4. 選擇其中較小的U值與臨界值比較，若U小于Ua，接受原假設；若U大于Ua，則拒絕H0，接受H1.接受域恰遇其他假設檢驗相反。U檢驗也分小樣本和大樣本之分，大樣本時U的分布趨近于正態(tài)，可用正態(tài)逼近處理。,某工廠管理人員考察裝配線上的男職工和女職工的技能

26、與無差別，隨機抽取了9名男職工和5名女職工進行技能測試，9名男職工的分數(shù)分別為：1500，1600，670，800，1100，800，1320，1150，600；5名女職工的分數(shù)為：1400，1200，780，1350，890.現(xiàn)問男女職工的技能是否有顯著差異? Ua=7,將男女職工進行排序,nA=9，nB=5，TA=64，TB=41，現(xiàn)計算U,說明計算正確。假設：H0：男女職工技能沒有差異 H1：男女職工技能

27、有差異,這是雙側檢驗。設定顯著水平為0.05，nA=9,nB=5，查表的U的臨界值Ua=7.UB=19>Ua=7,故接受H1，斷定男女職工的技能有顯著差異。,人們一般認為廣告對促銷起作用，但是否對某種商品的促銷起作用但無把握。為了證實這一結論，隨機對15個均銷售該種商品的商店進行調查，得到數(shù)據(jù)如下表：,試以0.05的顯著水平下，用符號檢驗法檢驗廣告對該種商品的促銷有沒有作用？(K0.0112=1,K0.0512=2),為了比較兩種