07-概率統(tǒng)計-假設(shè)檢驗

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計,第七章 假設(shè)檢驗,主要內(nèi)容,假設(shè)檢驗的基本概念正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗*多個正態(tài)總體均值的比較——單因素方差分析*?2擬合優(yōu)度檢驗,§7.1 假設(shè)檢驗的基本概念,一、統(tǒng)計假設(shè)與統(tǒng)計假設(shè)檢驗,統(tǒng)計假設(shè)：通過實際觀察或理論分析對總體分布形式或?qū)傮w分布形式中的某些參數(shù)作出某種假設(shè)。同一問題中的統(tǒng)計假設(shè)有兩個：原假設(shè)和備擇假設(shè),統(tǒng)計假設(shè)檢驗：根據(jù)問題的要求提出假設(shè)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量，按照樣本提供的信息，以及

2、一定的規(guī)則，在原假設(shè)和備擇假設(shè)之間作出接受哪一個的合理判斷。,基本原則——小概率事件在一次試驗中是不可能發(fā)生的。,引例：已知某班《概率統(tǒng)計》的期末考試成績服從正態(tài)分布。根據(jù)平時的學(xué)習(xí)情況及試卷的難易程度，估計平均成績?yōu)?5分，考試后隨機抽樣5位同學(xué)的試卷，得平均成績?yōu)?2分，試問所估計的75分是否正確？,“全班平均成績是75分”，這就是一個假設(shè),根據(jù)樣本均值為72分，和已有的定理結(jié)論，對EX=75是否正確作出判斷，這就是檢驗，對

3、總體均值的檢驗。,判斷結(jié)果：接受原假設(shè)，或拒絕原假設(shè)。,表達(dá)：原假設(shè)：H0：EX=75；備擇假設(shè)： H1：EX≠75,,雙側(cè)檢驗與單側(cè)檢驗參數(shù)假設(shè)與非參數(shù)假設(shè)參數(shù)假設(shè)：可以用有限個參數(shù)假設(shè)來的假設(shè)非參數(shù)假設(shè)：不用參數(shù)假設(shè)，如例7.3簡單假設(shè)與復(fù)合假設(shè)簡單假設(shè)：一個假設(shè)只指定參數(shù)空間的一個點復(fù)合假設(shè)：指定多個點,引例問題,原假設(shè) H0：EX=75；H1：EX≠75,假定原假設(shè)正確，則X~N（75，?2），于是T統(tǒng)計量,可得

4、,如果樣本的觀測值,則拒絕H0,,檢驗水平,,臨界值,,拒絕域,,二、檢驗統(tǒng)計量和拒絕域,檢驗法則：規(guī)則能告訴我們，在有了樣本觀測數(shù)據(jù)提供的信息后，是接受還是拒絕原假設(shè)。,檢驗統(tǒng)計量：可以把樣本中包含的我們所關(guān)心的未知參數(shù)的信息最大限度地集中起來，當(dāng)原假設(shè)成立時，其精確分布或極限分布應(yīng)已知或部分已知，且它取值的大小可以反映對原假設(shè)有利或不利的傾向。,臨界值：一個適當(dāng)?shù)慕缦蓿员阕鞒鼍芙^或接受原假設(shè)拒絕域：接受域：,三、兩類錯誤和顯著

5、性水平,第一類錯誤（拒真錯誤）——原假設(shè)H0為真，而檢驗結(jié)果為拒絕H0；記其概率為?，即 P{拒絕H0|H0為真}= ?,第二類錯誤（取偽錯誤）——原假設(shè)H0不符合實際，而檢驗結(jié)果為接受H0；記其概率為?，即 P{接受H0|H0不真}= ?,希望：犯兩類錯誤的概率越小越好，但樣本容量一定 的前提下，不可能同時降低?和?。,奈曼和皮爾遜提出

6、的原則：保護原假設(shè)，即限制?的前提下，使?盡可能的小。,注意：“接受H0”，并不意味著H0一定為真；“拒絕H0” 也不意味著H0一定不真。,三、兩類錯誤和顯著性水平,為簡單起見，實際進行假設(shè)檢驗時，著重對犯第一類錯誤的概率加以控制，再適當(dāng)考慮犯第二類錯誤的概率大小。這樣的檢驗稱為顯著性檢驗。在檢驗一個給定假設(shè)時，允許犯第一類錯誤的最大概率稱為檢驗的顯著性水平，記為? 即：P{

7、拒絕H0|H0為真}=(?) ?,基本思想——小概率原理,參數(shù)的假設(shè)檢驗：已知總體的分布類型，對分布函數(shù)或密度函數(shù)中的某些參數(shù)提出假設(shè)，并檢驗。,基本原則——小概率事件在一次試驗中是不可能發(fā)生的。,思想：如果原假設(shè)成立，那么某個分布已知的統(tǒng)計量在某個區(qū)域內(nèi)取值的概率?應(yīng)該較小，如果樣本的觀測數(shù)值落在這個小概率區(qū)域內(nèi)，則原假設(shè)不正確，所以，拒絕原假設(shè)；否則，接受原假設(shè)。,假設(shè)檢驗的推理用到概率性質(zhì)的反證法：先假設(shè)H0正確，看由此可

8、以推出什么結(jié)果。如果樣本觀測值導(dǎo)致了一個不合理現(xiàn)象的出現(xiàn)，則有理由否定原假設(shè)H0，而接受備擇假設(shè)H1；否則，只能將原假設(shè)H0當(dāng)做真的保留下來。應(yīng)從統(tǒng)計意義上理解假設(shè)檢驗得出的結(jié)論：如果檢驗的結(jié)果是接受原假設(shè)H0，并不意味著原假設(shè)H0一定是真的，只是我們尚無充分的統(tǒng)計證據(jù)去拒絕原假設(shè)H0；如果得出的結(jié)論拒絕原假設(shè)H0，也并不意味著H0一定不真，只是現(xiàn)有的樣本數(shù)據(jù)沒有支持H0成立，故有理由拒絕H0。,四、假設(shè)檢驗的一般步驟,1. 提

9、出原假設(shè)，確定備擇假設(shè)；,2. 選取或構(gòu)造分布已知的合適的統(tǒng)計量；,3. 由給定的檢驗水平?，求出在H0成立的條件下的 臨界值（上側(cè)?分位數(shù)，或雙側(cè)?分位數(shù)）；,4. 根據(jù)樣本的觀測值，計算統(tǒng)計量的值。,5. 作出拒絕或接受原假設(shè)的統(tǒng)計判斷：如果落在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)，否則，接受原假設(shè)。,§7.2 正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗,方差已知，關(guān)于均值的假設(shè)檢驗——U檢驗,問題：總體X~N（?，?2），?2已知,

10、一、單個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗,假設(shè) H0：?=?0；H1：?≠?0,構(gòu)造U統(tǒng)計量,由,雙邊檢驗,如果統(tǒng)計量的觀測值,則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè),確定拒絕域,H0為真的前提下,例1 由經(jīng)驗知某零件的重量X~N（?，?2），?=15，?=0.05；技術(shù)革新后，抽出6個零件，測得重量為（單位：克）14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6，已知方差不變，試統(tǒng)計推斷，平均重量是否仍為15克？（?=0.

11、05）,解 由題意可知：零件重量X~N（?，?2），且技術(shù) 革新前后的方差不變?2=0.052，要求對均值進行 檢驗，采用U檢驗法。,假設(shè) H0：?=15； H1： ?≠15,構(gòu)造U統(tǒng)計量，得U的0.05雙側(cè)分位數(shù)為,例1 由經(jīng)驗知某零件的重量X~N（?，?2），?=15，?=0.05；技術(shù)革新后，抽出6個零件，測得重量為（單位：克）14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14

12、.6，已知方差不變，試統(tǒng)計推斷，平均重量是否仍為15克？（?=0.05）,解,因為4.9>1.96 ，即觀測值落在拒絕域內(nèi),所以拒絕原假設(shè)。,而樣本均值為,故U統(tǒng)計量的觀測值為,H0：?=?0；H1：???0,H0：?=?0；H1：???0,或,單 邊 檢 驗,拒絕域為,拒絕域為,例2 由經(jīng)驗知某零件的重量X~N（?，?2），?=15，?=0.05；技術(shù)革新后，抽出6個零件，測得重量為（單位：克）14.7 15.1 1

13、4.8 15.0 15.2 14.6，已知方差不變，試統(tǒng)計推斷，技術(shù)革新后，零件的平均重量是否降低？（?=0.05）,解 由題意可知：零件重量X~N（?，?2），且技術(shù) 革新前后的方差不變?2=0.052，要求對均值進行 檢驗，采用U檢驗法。,假設(shè) H0：?=15； H1： ??15,構(gòu)造U統(tǒng)計量，得U的0.05上側(cè)分位數(shù)為,單側(cè)檢驗,因為 ，即

14、觀測值落在拒絕域內(nèi),所以拒絕原假設(shè)，即可認(rèn)為平均重量是降低了。,而樣本均值為,故U統(tǒng)計量的觀測值為,例2 由經(jīng)驗知某零件的重量X~N（?，?2），?=15，?=0.05；技術(shù)革新后，抽出6個零件，測得重量為（單位：克）14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6，已知方差不變，試統(tǒng)計推斷，技術(shù)革新后，零件的平均重量是否降低？（?=0.05）,解,表7.1 方差已知時單個正態(tài)總體均值的檢驗法則（U檢驗法）

15、,單個正態(tài)總體方差未知的均值檢驗——T檢驗,問題：總體X~N（?，?2），?2未知,假設(shè) H0：?=?0；H1：?≠?0,構(gòu)造T統(tǒng)計量,由,雙邊檢驗,如果統(tǒng)計量的觀測值,則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè),確定拒絕域,例3 化工廠用自動包裝機包裝化肥，每包重量服從正態(tài)分布，額定重量為100公斤。某日開工后，為了確定包裝機這天的工作是否正常，隨機抽取9袋化肥，稱得平均重量為99.978，均方差為1.212，能否認(rèn)為這天的包裝機

16、工作正常？（?=0.1）,解 由題意可知：化肥重量X~N（?，?2），?0=100 方差未知，要求對均值進行檢驗，采用T檢驗法。,假設(shè) H0：?=100； H1： ?≠100,構(gòu)造T統(tǒng)計量，得T的0.1雙側(cè)分位數(shù)為,解,因為0.0545<1.86 ，即觀測值落在接受域內(nèi),所以接受原假設(shè)，即可認(rèn)為這天的包裝機工作正常。,而樣本均值、均方差為,故T統(tǒng)計量的觀測值為,例3 化工廠用自動包裝機包裝化肥，每包重量服從正

17、態(tài)分布，額定重量為100公斤。某日開工后，為了確定包裝機這天的工作是否正常，隨機抽取9袋化肥，稱得平均重量為99.978，均方差為1.212，能否認(rèn)為這天的包裝機工作正常？（?=0.1）,H0：?=?0；H1：???0,H0：?=?0；H1：???0,或,單邊檢驗,拒絕域為,拒絕域為,表7.2 方差未知時單個正態(tài)總體均值的檢驗法則（T檢驗法）,一個正態(tài)總體均值未知的方差檢驗——?2檢驗,問題：設(shè)總體X~N（?，?2），?未知

18、,構(gòu)造?2統(tǒng)計量,由,如果統(tǒng)計量的觀測值,則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè),確定臨界值,或,假設(shè),,,雙邊檢驗,表7.3 均值未知時單個正態(tài)總體方差的檢驗法則（?2檢驗法）,單個正態(tài)總體均值已知的方差檢驗——?2檢驗,問題：總體X~N（?，?2），?已知,構(gòu)造?2統(tǒng)計量,由,如果統(tǒng)計量的觀測值,則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè),確定臨界值,或,假設(shè),,,拒絕域,表7.4 均值已知時單個正態(tài)總體方差的檢驗法則（?2檢驗法）,例4 某煉鐵廠

19、的鐵水含碳量X在正常情況下服從正態(tài)分布，現(xiàn)對工藝進行了某些改進，從中抽取5爐鐵水測得含碳量如下：4.421，4.052，4.357，4.287，4.683，據(jù)此是否可判斷新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為0.1082（?=0.05）？,解 這是一個均值未知，正態(tài)總體的方差檢驗， 用?2檢驗法,由?=0.05，得臨界值,假設(shè),例4 某煉鐵廠的鐵水含碳量X在正常情況下服從正態(tài)分布，現(xiàn)對工藝進行了某些改進，從中抽取5爐

20、鐵水測得含碳量如下：4.421，4.052，4.357，4.287，4.683，據(jù)此是否可判斷新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為0.1082（?=0.05）？,解,?2統(tǒng)計量的觀測值為17.8543,因為,所以拒絕原假設(shè),即可判斷新工藝煉出的鐵水含碳量的方差不是0.1082,問題的提出：有時，我們需要比較兩總體的參數(shù)是否存在顯著差異。比如，兩個農(nóng)作物品種的產(chǎn)量，兩種電子元件的使用壽命，兩種加工工藝對產(chǎn)品質(zhì)量的影響，兩地區(qū)的氣候差異等

21、等。,二、兩個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗,已知 ，檢驗H0：,1. 方差已知，檢驗均值相等 （即檢驗均值差）,問題：,則,所以，,從而，當(dāng)H0成立時，,對給定的檢驗水平 得H0的拒絕域：,兩個正態(tài)總體的均值檢驗 ——U檢驗法,已知 ，檢驗H0：,1. 方差已知，檢驗均值相等,問題：,表7.5 方差已知時，兩個正態(tài)總體均值差的檢驗法則（U檢驗法）,解 假設(shè)：,因為：

22、,所以接受H0假設(shè)，即認(rèn)為 A、B兩法的平均產(chǎn)量無統(tǒng)計意義。,例 據(jù)以往資料，已知某品種小麥每4平方米產(chǎn)量（千克）的 方差為 。今在一塊地上用A，B 兩法試驗，A 法設(shè)12個樣本點，得平均產(chǎn)量 ；B 法設(shè)8個樣本點，得平均產(chǎn)量 ，試比較A、B兩法的平均產(chǎn)量是否有統(tǒng)計意義。,兩個正態(tài)總體參數(shù)的均值檢驗,2. 方差未知，但兩個總體的方差相等，檢

23、驗均值相等,問題：,未知 ，但知 ，檢驗H0：,對給定的檢驗水平 得H0的拒絕域：,若 H0 成立，則,兩個正態(tài)總體的均值檢驗 ——T檢驗法,2. 方差未知，但兩個總體的方差相等，檢驗均值相等,,具體的檢驗法則見P189，表7.6例7.7 （P189）,解 假設(shè)：,所以拒絕H0假設(shè)，即認(rèn)為 A、B兩種燈泡的平均壽命有統(tǒng)計意義。,例2 有兩種燈泡，一種用

24、 A 型燈絲，另一種用 B 型燈絲。隨機 抽取兩種燈泡各10 只做試驗，測得它們的壽命（小時）為：A 型：1293 1380 1614 1497 1340 1643 1466 1677 1387 1711B 型：1061 1065 1092 1017 1021 1138 1143 1094 1028 1119 設(shè)兩種燈泡的壽命均服從正態(tài)分布且方差相等，試檢驗兩種

25、 燈泡的平均壽命之間是否存在顯著差異？,方法一：大樣本方法——近似U檢驗法；方法二：成對數(shù)據(jù)的比較——T檢驗法,兩個正態(tài)總體的均值檢驗 ——T檢驗法,3. 方差未知，且兩總體的方差不等，檢驗均值相等,方法三：兩獨立的小樣本——近似T檢驗法；,兩個正態(tài)總體的均值檢驗 ——T檢驗法,3. 方差未知，且兩總體的方差不等，檢驗均值相等,未知 ，檢驗假設(shè)H0：,若假設(shè)H0成立，則,對給定的檢驗水平

26、 得H0的拒絕域：,及,兩個正態(tài)總體的方差檢驗——F檢驗,問題：,由于,例3 測得兩批電子器材的樣本的電阻為：（單位：?）第一批：0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137第二批：0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140設(shè)這兩批器材的電阻均服從正態(tài)分布，試檢驗H0：,解 這是一個兩正態(tài)總體的方差檢驗問題，用F檢驗法,由

27、樣本觀測數(shù)據(jù)得,假設(shè),所以,而,所以，接受原假設(shè)，即可認(rèn)為兩批電子器材的方差相等,例4 對甲、乙兩種玉米進行評比試驗，得如下產(chǎn)量資料： 甲：951 966 1008 1082 983 乙：730 864 742 774 990 問這兩種玉米的產(chǎn)量差異有沒有統(tǒng)計意義？,解 先對方差作檢驗：,因為,所以可認(rèn)為甲、乙兩種玉米的方差沒有顯著差異即可認(rèn)為,例4 對甲、乙兩