研究生統(tǒng)計學(xué)-第三章-總體均數(shù)估計與假設(shè)檢驗4版

1、第三章總體均數(shù)估計與假設(shè)檢驗,桂立輝新鄉(xiāng)醫(yī)學(xué)院公共衛(wèi)生學(xué)院,研究生《醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)》(第四版),第三章總體均數(shù)估計與假設(shè)檢驗,均數(shù)的抽樣誤差與標準誤t 分布總體均數(shù)的估計假設(shè)檢驗的基本原理和步驟t 檢驗假設(shè)檢驗的注意事項正態(tài)性檢驗和兩樣本方差比較的F檢驗,參數(shù)估計基礎(chǔ),統(tǒng)計學(xué)研究的目的通常是要了解總體的情況。如果要了解總體情況，有兩種方法： 全面研究 抽樣研究 全面研究在許多情況下難以辦到，

2、因此，常用的方法是抽樣研究，即從同質(zhì)總體中隨機抽取一部分觀察單位作為樣本，并由樣本信息(包括樣本變量值的分布及其用于描述的統(tǒng)計量)來推斷總體情況，即統(tǒng)計推斷(statistical inference)。,第一節(jié) 均數(shù)的抽樣誤差和標準誤,由于所研究變量在總體中各觀察單位（個體）間存在變異，抽樣研究必然會導(dǎo)致抽樣誤差(sampling error) 。 抽樣誤差是不可避免的，但我們可以探究抽樣誤差的規(guī)律，控制抽樣誤

3、差在允許的范圍內(nèi)。,第一節(jié) 均數(shù)的抽樣誤差和標準誤,為探討抽樣誤差的規(guī)律，我們做一個放回式隨機抽樣實驗。假設(shè)某年某地13歲女學(xué)生身高（X）服從總體均數(shù)μ=155.4cm，總體標準差σ=5.3cm的正態(tài)分布N（155.4，5.32）。每次抽取的30例構(gòu)成一個樣本，并計算出樣本均數(shù)。 如此共抽取100個樣本，計算得到100個樣本均數(shù)。,總體μ=155.4cmσ = 5.3 cm,放回式隨機抽樣實驗,,,,,,,表5-1 從正態(tài)總體N(

4、155.4, 5.32)隨機抽取100份樣本(n=30)的算術(shù)均數(shù),對100個樣本均數(shù)組成的數(shù)據(jù)資料進行統(tǒng)計描述，結(jié)果：,圖5-1 100個樣本均數(shù)的頻數(shù)分布圖,第一節(jié) 均數(shù)的抽樣誤差和標準誤,從一個總體均數(shù)為μ ，標準差為σ 的總體中，隨機抽取若干個含量為n 的樣本。那么，這若干個樣本的均數(shù)不會完全相同，其頻數(shù)分布是以總體均數(shù)μ為中心的正態(tài)分布，其變異程度可用這若干個樣本均數(shù)的標準差表示，稱樣本均數(shù)的標準誤(standard er

5、ror)。,第一節(jié) 均數(shù)的抽樣誤差和標準誤,在前述放回式隨機抽樣實驗中，已知總體標準差σ=5.3cm，每次抽樣的樣本含量n=30，代入公式得：,按實際抽取的100個樣本均數(shù)計算，標準誤為0.96，與上述公式計算結(jié)果基本一致。,,樣本均數(shù)的分布,,不同n樣本均數(shù)的分布,X (? =155.4 , ? =5.3 ),(n=5 , =2.37),(n=10 , =1.68 ),(n=30 , =0.98),?,增

6、大樣本量對標準誤的影響（? =5.3）,第一節(jié) 均數(shù)的抽樣誤差和標準誤,實際工作中，往往不知道? ，因此，通常用樣本標準差s 來代替? ，得到均數(shù)標準誤的估計值：,例 調(diào)查某地120名正常成人的血糖值的均數(shù)為4.92mmol/L，標準差為0.48mmol/L，試計算標準誤。,第一節(jié) 均數(shù)的抽樣誤差和標準誤,均數(shù)標準誤的用途： 衡量樣本均數(shù)的可靠性； 標準誤愈小，說明樣本均數(shù)與總體均數(shù)越接近，即抽樣誤差越小，

7、用樣本均數(shù)推論總體均數(shù)的真實性越好。反之，標準誤越大，抽樣誤差越大，樣本均數(shù)對總體均數(shù)的代表性越差。 估計總體均數(shù)的置信區(qū)間； 用于均數(shù)的假設(shè)檢驗。,第二節(jié) t 分布,一、 t 分布的概念 對于任一正態(tài)分布X~N(? , ?2 ) ，經(jīng)u變換后都可以變成標準正態(tài)分布N(0 ,1)。 隨機抽取若干個含量為n 的樣本，這些樣本均數(shù)的頻數(shù)分布是以總體均數(shù)μ為中心的正態(tài)分布，其標準差為 ，即

8、 ~N(? , 2 )如果進行u變換，同樣可以變成標準正態(tài)分布N(0 ,1)。,第二節(jié) t 分布,實際上 往往未知，故用 作為 的估計值，這時可以對樣本均數(shù)作 t 變換：,則t 值的分布是以0為中心的正態(tài)分布，即t 分布(student’s t distribution)。1908年W S Gosset以筆名student發(fā)表了他的研究論文，開創(chuàng)了小樣本統(tǒng)計推斷之先河。,第二節(jié) t 分布,

9、二、t 分布的圖形和t 分布表 對前述13歲女學(xué)生身高總體，分別做n=3和n=50的隨機抽樣，各抽取1000個樣本，并分別計算得到1000個樣本均數(shù)和標準誤。然后，分別做t變換，將t值繪直方圖如圖5-2。,第二節(jié) t 分布,二、t 分布的圖形和t 分布表 t 分布與u 分布一樣，都是以0為中心，但t分布不是1條曲線，而是無數(shù)條曲線。 t 分布的形態(tài)（峰度）隨抽樣樣本量（嚴格地說是自由度n -1）而變

10、化，自由度越小，曲線越低平，隨著自由度增大，t 分布逐漸接近于標準正態(tài)分布，當(dāng)自由度為無窮大時，t 分布與 u 分布完全重合。,圖5-3 不同自由度的t 分布曲線,? =2,? =5,? =∞,第二節(jié) t 分布,t 分布與u分布一樣，曲線下的面積分布有一定規(guī)律：從雙側(cè)-t? /2,? 到t? /2,? 所對應(yīng)的曲線下的面積占曲線下總面積的100(1-α)%。或者，從單側(cè)t?,? 到-∞所對應(yīng)的曲線下的面積占曲線下總面積的100(1-

11、 ?)%。,?,?/2,?/2,0,0,-t?,-t? /2,+t? /2,1- ?,1- ?,第二節(jié) t 分布,由于t 分布的形態(tài)隨自由度而變化，t?也隨自由度而變化。不同自由度時的t?值可查附表2 t 界值表得到。,,,一、 t 分布,,第三節(jié) 總體均數(shù)的估計,一、 可信區(qū)間的概念點值估計(point estimation)區(qū)間估計(interval estimation) 總體均數(shù)（ μ ）的100(1- α)%置

12、信區(qū)間(confidential interval，簡記為 CI)。 區(qū)間估計屬于概率估計，總體參數(shù)并非一定在該置信區(qū)間內(nèi)，只需要把總體參數(shù)不在該置信區(qū)間內(nèi)的概率(α)控制在一定水平就可以了。,二、置信區(qū)間的計算,二、總體均數(shù)的置信區(qū)間的計算μ 的100(1-α)%置信區(qū)間(CI)：已知總體標準差σ，按u分布原理，計算公式為：σ未知，n較小，按t 分布原理計算：σ未知，n足夠大(如n>100)

13、，按u分布近似計算：,總體均數(shù)置信區(qū)間的計算,例 測得某地健康男子20人收縮壓的均數(shù)為118.4mmHg，標準差為10.8mmHg，試估計該地健康男子收縮壓總體均數(shù)的95%可信區(qū)間。 本例v=20-1=19，查t 值表得 t0.05,19 =2.093 。 代入公式得：,該地健康男子收縮壓總體均數(shù)的95%可信區(qū)間為113.3～123.5mmHg。,總體均數(shù)置信區(qū)間的計算,例 測得某地150名正常人脈

14、搏的均數(shù)為73.53次/分，標準差為11.30次/分，試估計該地正常人脈搏總體均數(shù)的95%可信區(qū)間。 本例n>100，可按正態(tài)分布原理近似計算：,該地正常人脈搏總體均數(shù)的95%可信區(qū)間為71.74～75.36次/分。,三、總體均數(shù)置信區(qū)間的解釋,總體均數(shù)可信區(qū)間的計算和解釋有兩種理論依據(jù)，一是是Pearson、Fisher、Neyman等人的經(jīng)典理論，另一個是Bayes理論。經(jīng)典理論假定樣本x1、x2 、

15、… 、xn來自正態(tài)分布N(μ,σ2),其中σ2已知,μ是一個客觀存在的常數(shù)。對置信區(qū)間的解釋是：從總體中隨機抽樣，每個樣本可以算得一個置信區(qū)間，該置信區(qū)間包括總體均數(shù)(估計正確)的概率是1-α。Bayes理論則認為參數(shù)μ是隨機變量。對置信區(qū)間的解釋是：μ有1-α的可能性落在該區(qū)間，或者說μ在這個區(qū)間內(nèi)的概率是1-α。,總體均數(shù)置信區(qū)間的估計,參數(shù)估計時，一方面要控制發(fā)生錯誤的概率（α），α越小，估計的正確率就越高。另一方面，所定區(qū)間范

16、圍不能過寬，否則就失去了實際意義，也就是估計的精確程度要高，估計的區(qū)間范圍越小，精密度就越高。 正確性和精密性是相互矛盾的，提高了準確度，則精密度必然下降；如果提高精密度，則準確度又將隨之降低。因此，通常把發(fā)生錯誤的概率（α）定在適當(dāng)?shù)乃?，如?0.05，即總體參數(shù)不在該范圍的概率不超過5%，即95%置信區(qū)間。 增大樣本量可以在不影響正確性的情況下提高參數(shù)估計的精密度。但并非樣本量越大越

17、好。,總體均數(shù)的估計,例9.2 某醫(yī)師隨機抽查了某地20名正常成人，測得血糖值的均數(shù)為4.92mmol/L，標準差為0.48mmol/L，試估計該地正常成人血糖值總體均數(shù)的95%和99%可信區(qū)間。 本例： 今v=20-1=19,查t值表得t0.05,19=2.093,t0.01,19=2.861。 95%可信區(qū)間為： 99%可信區(qū)間為：,總體均數(shù)的估計,例9.3 隨機抽查

18、了某地120名正常成人，測得血糖值的均數(shù)為4.92mmol/L，標準差為0.48mmol/L，試估計該地正常成人血糖值總體均數(shù)的95%和99%可信區(qū)間。 本例： 按正態(tài)分布原理近似計算： 95%可信區(qū)間為： 99%可信區(qū)間為：,正確性和精密性的關(guān)系,樣本量對參數(shù)估計正確性和精密性的影響（正常人血糖總體均數(shù)的估計）,四、正常值范圍與可信區(qū)間,總體 均數(shù) 可信 區(qū)間： 正 常 參 考