第5章-線性定常系統(tǒng)綜合

1、第五章 線性定常系統(tǒng)設(shè)計,,線性反饋控制系統(tǒng)的構(gòu)成及基本結(jié)構(gòu),1,,極點配置問題（系統(tǒng)的鎮(zhèn)定、解耦）,2,,3,,4,狀態(tài)觀測器,狀態(tài)反饋系統(tǒng),5.1 線性控制系統(tǒng)的構(gòu)成及其特性,引言：反饋系統(tǒng)設(shè)計的主要方式 經(jīng)典理論－－只能輸出反饋 現(xiàn)代控制理論－－狀態(tài)反饋一、系統(tǒng)的構(gòu)成 （一）狀態(tài)反饋1、定義：將系統(tǒng)的每一狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，反饋到控制對象的輸入部分。 K

2、－－狀態(tài)反饋陣,2,給定系統(tǒng),在系統(tǒng)中引入反饋控制律,K為 m × n 矩陣,3,的狀態(tài)空間表達式為：,狀態(tài)反饋要求：系統(tǒng)的狀態(tài)變量可以檢測。,系統(tǒng)可以記為：,4,特點：,加入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的系數(shù)矩陣由 A → ( A - BK ) A、B是確定的，不可變的，K 可在很寬的范圍內(nèi)任意選擇，可通過選擇K，改變[ A – BK ]達到要求的性能。,系統(tǒng)的解為：,狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,5,若系統(tǒng)的狀態(tài)不能直接測量到，

3、只能采用系統(tǒng)的輸出 y 來構(gòu)造反饋控制，如：,,6,輸出反饋 定義：將系統(tǒng)的輸出乘以相應(yīng)的系數(shù)，反饋到控制對象的輸入部分。 F — 輸出反饋陣,系統(tǒng)可以記為：,特點： 系數(shù)矩陣由開環(huán) A →( A - BFC ), 控制對象確定后，A, B, C不變，可通過改變 F 來改變 閉環(huán)系統(tǒng)的控制特性，滿足性能要求。,

4、傳遞函數(shù),7,比較：輸出變量個數(shù) m < 狀態(tài)變量個數(shù) n，輸出反饋只是部分狀態(tài)反饋，F(xiàn) 可供選擇的自由度比 K 小，所以輸出效果不如狀態(tài)反饋，但技術(shù)實現(xiàn)方便 。,，時狀態(tài)反饋就等價于輸出反饋,狀態(tài)反饋和輸出反饋的比較,狀態(tài)反饋：,輸出反饋：,因此，輸出反饋可以看做狀態(tài)反饋的一種特例。,8,反饋控制的一些性質(zhì),狀態(tài)反饋：,輸出反饋：,通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)矩陣的值，改善系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)定性能。,,,極點的位置,反饋對系統(tǒng)的能控性、能觀性

5、有何影響？,9,定理：狀態(tài)反饋不改變被控系統(tǒng)的能控性,即，已知,系統(tǒng) 依然能控。,，引入 狀態(tài)反饋后,證明：假定開環(huán)系統(tǒng)能控能觀，則 A，B 可化為能控標(biāo)準形,10,則,不妨設(shè)狀態(tài)反饋矩陣K為：,狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)變?yōu)?系統(tǒng)仍為能控標(biāo)準形。所以只要開環(huán)能控，組成狀態(tài)反饋系統(tǒng)后仍然能控。,11,例5-1 開環(huán)系統(tǒng),判斷

6、當(dāng) K＝[1, 0] 或 [1/2, 0] 時的能控性和能觀性,解：首先判斷開環(huán)系統(tǒng)的能控能觀性。,滿秩，系統(tǒng)能控,滿秩，系統(tǒng)能觀,反饋對系統(tǒng)的能觀性有何影響？,12,閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為：,當(dāng),滿秩，系統(tǒng)能控,滿秩，系統(tǒng)能觀,引入狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)為,13,當(dāng),滿秩，系統(tǒng)能控,秩為1，系統(tǒng)不能觀,引入狀態(tài)反饋后，原來開環(huán)能觀的系統(tǒng)變?yōu)殚]環(huán)不能觀,為何？,14,原系統(tǒng),狀態(tài)反饋后,引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的極點發(fā)生了變化，剛好和系統(tǒng)的零點

7、發(fā)生對消的情況，影響了系統(tǒng)的能觀性。,觀察引入狀態(tài)反饋前后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的變化,15,定理：輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性和能觀性。,定理：對能控的單輸入單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)反饋不能移動系統(tǒng)的零點。,16,討論,1. 在狀態(tài)和輸出反饋中，反饋的引入并沒有增加狀態(tài)變量的個數(shù)。即閉環(huán)和開環(huán)系統(tǒng)具有相同的階數(shù)。,2. 兩種反饋形式構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)，均能保持開環(huán)系統(tǒng)的能控性，但能觀性則不然。,3. 輸出反饋實現(xiàn)起來較為方便，但反饋效果一般。,4. 狀態(tài)

8、反饋需要各個狀態(tài)變量的信息，獲取比較困難。但反饋的效果較好。,從系統(tǒng)輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù) 的線性反饋形式在狀態(tài)觀測器獲得應(yīng)用。（圖三）表示這種反饋結(jié)構(gòu)：,5.1.3 從輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)反饋,設(shè)受控系統(tǒng),從輸出 y 到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù) 的反饋增益陣 ，可得閉環(huán)系統(tǒng)：,將 y 代入 整理得：,19,5.2 極點配置,不穩(wěn)定系統(tǒng),穩(wěn)定系統(tǒng),,反饋控制,虛軸右側(cè)的極點,虛軸左側(cè),,問題：

9、 1. 閉環(huán)系統(tǒng)的極點能否按照事先設(shè)計好的位置上？ 2. 采用什么方法，如何實現(xiàn)？,系統(tǒng)的解,開環(huán),閉環(huán),配置,20,配置的條件,定理：給定系統(tǒng),通過狀態(tài)反饋,任意配置極點的充要條件是,完全能控。,首先要解決在什么條件下才有可能通過狀態(tài)反饋把系統(tǒng)閉環(huán)極點配置在任意希望的位置上。,狀態(tài)反饋配置極點,21,設(shè)系統(tǒng) 可控，系統(tǒng)的特征方程為,原系統(tǒng)可寫成能控標(biāo)準型的形式：,采用狀態(tài)反饋陣

10、 ，則對應(yīng)的狀態(tài)反饋控制器為：,22,引入狀態(tài)反饋之后，閉環(huán)系統(tǒng)的變成：,該系統(tǒng)依然為能控標(biāo)準型的形式。因此，可以寫出其特征方程。,23,（1）,（2）,假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)期望的極點為,為使閉環(huán)系統(tǒng)達到系統(tǒng)要求的性能，閉環(huán)系統(tǒng)達到實際系統(tǒng)的性能，閉環(huán)的極點應(yīng)為希望的極點 ，由式 (1) 和 (2) 比較，實際系統(tǒng)與希望系統(tǒng)的特征方程的系數(shù)應(yīng)一致。,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

11、：,則期望的特征方程為：,24,因此，任意配置 K，從而確定任意的 ，即可用反饋陣 K 的任意選擇配置 ，確定閉環(huán)系統(tǒng)的極點，使系統(tǒng)性能趨于最佳方向。,因此,,這里只就單輸入系統(tǒng)的情況證明本定理，對于多輸入系統(tǒng)，定理仍然成立。,25,例 已知系統(tǒng),求狀態(tài)反饋陣 k, 使閉環(huán)系統(tǒng)的極點為－2，－3。,解：對如上二階系統(tǒng)，設(shè)其狀態(tài)反饋矩陣：,由于系統(tǒng)的狀態(tài)方程是能控標(biāo)準形，其特征方程為,則控制器為：,26,希望的閉環(huán)極點為-2

12、、-3，則系統(tǒng)的期望特征方程為：,所以,即,于是反饋控制規(guī)律為,27,非能控標(biāo)準型狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計,已知 能控，則表明其可以通過狀態(tài)反饋配置極點，但是其狀態(tài)空間表達為非標(biāo)準型，求其狀態(tài)反饋控制器 K。,系統(tǒng)能控，因此可以通過等價變換必能將它變?yōu)槟芸貥?biāo)準形,轉(zhuǎn)換矩陣為,轉(zhuǎn)換后系統(tǒng)為能控標(biāo)準型,28,引入狀態(tài)反饋,則狀態(tài)反饋后所組成的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為,,其中，顯然有,29,寫出系統(tǒng)的閉環(huán)特

13、征方程,同時，由指定的任意 n 個期望閉環(huán)極點,可求得期望的閉環(huán)特征方程,比較式(1)和(2)中同次冪的系數(shù)，可得,(1),(2),30,由此即有,至此說明，在狀態(tài)反饋增益陣 的在作用下，閉環(huán)系統(tǒng) 的極點可以配置在指定的如下 n 個極點上。,31,在等價變換前、后的狀態(tài)反饋增益陣的表達式有如下關(guān)系,和,之間有,因此，狀態(tài)反饋控制律在等價變換前后，,原系統(tǒng)經(jīng)過,變

14、換轉(zhuǎn)換成能控標(biāo)準型。,則,32,狀態(tài)反饋控制器的計算,4、對應(yīng)實際的與希望的特征方程，求出 K 。,3、選 ，寫出希望的特征方程,1、判斷A，b能控性2、寫出實際的特征方程（閉環(huán)傳遞陣的分母為0的方程）,總結(jié)：,33,例5.3：已知單輸入線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,求狀態(tài)反饋向量 K，使系統(tǒng)的閉環(huán)特征值為,解：系統(tǒng)的可控性判別矩陣為：,系統(tǒng)可控，滿足可配置條件,滿稚,34,希望的特征多項式為：,于是可求得：,方法1 轉(zhuǎn)化成標(biāo)準型

15、：,35,變換矩陣為：,36,例5.3：已知單輸入線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,求狀態(tài)反饋向量 K，使系統(tǒng)的閉環(huán)特征值為,解：系統(tǒng)的可控性判別矩陣為：,系統(tǒng)可控，滿足可配置條件,滿稚,方法2 直接帶入：,37,設(shè)：,由,得,38,與希望的特征多項式對應(yīng)系數(shù)相等，于是：,希望的特征多項式為：,39,狀態(tài)反饋的其它特性：（1）狀態(tài)反饋不能移動系統(tǒng)的零點（2）當(dāng)系統(tǒng)不完全能控時，狀態(tài)反饋只能配置系統(tǒng)能控部分的極點，而不能影響不能控部分的極點,

16、[定理5－4] 對完全能控的多變量系統(tǒng)，不能采用輸出線性反饋來實現(xiàn)極點配置。,[定理5－5] 從系統(tǒng)輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù) 的線性反饋實現(xiàn)閉環(huán)極點任意配置的充要條件是系統(tǒng)完全能觀。,40,不穩(wěn)定系統(tǒng),穩(wěn)定系統(tǒng),,控制,系統(tǒng)的鎮(zhèn)定,5.3 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題,從系統(tǒng)極點的角度看，系統(tǒng)鎮(zhèn)定就是通過狀態(tài)反饋（或輸出反饋）使閉環(huán)系統(tǒng)的全部極點都具有負實部，所以系統(tǒng)鎮(zhèn)定的目標(biāo)是通過狀態(tài)反饋（或輸出反饋）將系統(tǒng)的全部極點分布在左半開s 平面，而不必配

17、置在具體指定的位置上，因此系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題實際上是極點配置的一種特殊情況。,狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題可以描述為: 對于給定的線性定常連續(xù)系統(tǒng)? ( A, B, C ),找到一個狀態(tài)反饋控制律:,使得閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程,是鎮(zhèn)定的,其中K為狀態(tài)反饋矩陣,v為參考輸入。,41,定理6-4 若系統(tǒng)?(A,B,C)是不完全能控的,則線性狀態(tài)反饋使系統(tǒng)鎮(zhèn)定的充要條件是系統(tǒng)的完全不能控部分是漸近穩(wěn)定的, 即系統(tǒng)?(A,

18、B,C)不穩(wěn)定的極點只分布在系統(tǒng)的能控部分。證明 (1) 若系統(tǒng)?(A,B,C)不完全能控,可以通過線性變換將其按能控性分解為:,其中, 為完全能控子系統(tǒng); 為完全不能控子系統(tǒng)。,42,(2) 由于線性變換不改變系統(tǒng)的特征值,故有:,(3) 由于原系統(tǒng) ? ( A, B, C) 與結(jié)構(gòu)分解后的系統(tǒng)

19、   在穩(wěn)定性和能控性上等價,假設(shè)K為系統(tǒng)?的任意狀態(tài)反饋矩陣，對 引入狀態(tài)反饋陣 ,可得閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為,(1),43,進而可得閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為：,比較式(1)與式(2)，可以發(fā)現(xiàn):引入狀態(tài)反饋陣 后，只能通過選擇 來使得 的特

20、征值具有負實部, 從而使能控子系統(tǒng) 漸近穩(wěn)定。但 的選擇并不能影響不能控子系統(tǒng)的 特征值分布。因此,當(dāng)且僅當(dāng)漸近穩(wěn)定時(的特征值均具有負實部)，整個系統(tǒng)是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。從而定理得證。,(2),44,基于線性系統(tǒng)能控結(jié)構(gòu)分解方法和狀態(tài)反饋極點配置方法,可得到如下狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定算法。 狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定算法: 步1: 將可鎮(zhèn)定的系統(tǒng)? (A,B,C) 進行能控性分解，獲得變換矩陣Pc，并可得到,其中,

21、 為完全能控部分, 為完全不能控部分但漸近穩(wěn)定。,45,步2: 利用極點配置算法求取狀態(tài)反饋矩陣 ,使得   具有一組穩(wěn)定特征值。步3: 計算原系統(tǒng) ?(A,B,C) 可鎮(zhèn)定的狀態(tài)反饋矩陣 例6-6 給定線性定常系統(tǒng) 試設(shè)計狀態(tài)反饋矩陣K，使系統(tǒng)鎮(zhèn)定.,46,解: 1) 對系統(tǒng)進行能控性分解。表明系統(tǒng)不完全能控.取能控性分解

22、變換矩陣Pc為:,,47,于是可得 原系統(tǒng)的能控性分解為由于該系統(tǒng)的不能控部分只有一個具有負實部的極點-1，因此不能控子系統(tǒng)是穩(wěn)定的，系統(tǒng)是可鎮(zhèn)定的。,48,2) 對能控部分進行極點配置由上可知,系統(tǒng)的能控部分為設(shè)A* 為具有期望特征值的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣且 本例中設(shè)期望的閉環(huán)極點取為-3和-2，因此有,顯然,當(dāng)反饋陣為此時,閉環(huán)系統(tǒng)矩陣A*為,3) 求取原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定矩陣經(jīng)檢驗,經(jīng)狀態(tài)反

23、饋后得到的如下閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為鎮(zhèn)定的。,輸出反饋鎮(zhèn)定 線性定常連續(xù)系統(tǒng)書出反饋鎮(zhèn)定問題可以描述為:對于給定的線性定常連續(xù)系統(tǒng)Σ (A，B，C)，找到一個輸出反饋控制律： u=-Hy+v 式中，H為輸出反饋矩陣，v為參考輸入。引入輸出反饋矩陣H后，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：對是否可經(jīng)輸出反饋進行系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題,有如下定理。,定理 系統(tǒng) Σ (A, B, C) 通過輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是結(jié)構(gòu)分解中的能控且能觀部分是能輸出反

24、饋極點配置的，其余部分是漸近穩(wěn)定的。證明 對進行能控能觀性結(jié)構(gòu)分解,可得,證明 對進行能控能觀性結(jié)構(gòu)分解,可得,由于輸出反饋可以視為狀態(tài)反饋K=HC 的一種時的特例,且原系統(tǒng) Σ (A, B, C) 與結(jié)構(gòu)分解后的系統(tǒng) 在能觀性和能控性上等價，對系統(tǒng) 引入輸出反饋矩陣 ，可得閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣,相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為：由能控能觀性分解知，當(dāng)且僅當(dāng)

25、 的特征值均具有負實部時，閉環(huán)系統(tǒng)才能獲得漸近穩(wěn)定。因此,系統(tǒng) Σ ( A, B, C ) 通過輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是 Σ 結(jié)構(gòu)分解中的能控且能觀部分 是能輸出反饋極點配置的，其余部分是漸近穩(wěn)定的。,,例 考慮線性定常系統(tǒng) Σ ( A, B, C )，其中分析通過輸出反饋的系統(tǒng)可鎮(zhèn)定性。解 由系統(tǒng)的能

26、控能觀判據(jù)知,該系統(tǒng)是能控且能觀的。首先求系統(tǒng)的特征多項式為:由勞斯判據(jù),開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,設(shè)輸出反饋矩陣為H = [ h1 h2 ]T,則閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為:相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為:由勞斯判據(jù),可以得出特征方程根均具有負實部 ( 能夠鎮(zhèn)定 ) 的h1 及h2 取值范圍為:,在本例中,若取 h1 = -3，h2 = -2，則閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式化為： 其特征根為 s1 = -0.57，s2= -0.22+

27、1.3j。因此，原系統(tǒng)經(jīng)過輸出反饋 H=[-3 -2]T 能夠鎮(zhèn)定。,注意：利用輸出反饋未必能使能控能觀的系統(tǒng)得到鎮(zhèn)定。,5.4 系統(tǒng)解耦耦合是生產(chǎn)過程控制系統(tǒng)普遍存在的一種現(xiàn)象。在一個MIMO系統(tǒng)中，每一個輸入都受多個輸出的影響，每個輸出受多個輸入的控制，當(dāng)一個控制量的變化必然會波及其它量的變化，這種現(xiàn)象稱為耦合。所謂解耦，就是消除系統(tǒng)間耦合關(guān)聯(lián)作用。如果一個輸入量只受一個輸出量影響，即一個輸出僅受一個輸入控制，這樣的系統(tǒng)稱

28、為無耦合系統(tǒng)。在許多工程問題中，特別是過程控制中，解耦控制有著重要的意義。目前許多在航天，發(fā)電，化工等方面的控制系統(tǒng)難于投入運行，不少是因耦合的原因造成，因此解耦問題的研究十分重要。,,目前許多在航天，發(fā)電，化工等方面的控制系統(tǒng)難于投入運行，不少是因耦合的原因造成，因此解耦問題的研究十分重要。,若一個 m 維輸入 u 和一個 m 維輸出 y 的動力學(xué)系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)矩陣是一個對角線有理多項式矩陣則稱該多變量系統(tǒng)是解耦的。,實現(xiàn)

29、解耦有兩種方法:補償器解耦狀態(tài)反饋解耦 前者方法簡單，但將使系統(tǒng)維數(shù)增加。后者雖然不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但利用它實現(xiàn)解耦的條件比補償器解耦相對苛刻。,5.4.1 補償器解耦圖所示的為前饋補償器解耦框圖。圖中，Gp(s)為原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣，Gc(s)為補償?shù)膫鬟f函數(shù)矩陣，即解耦控制器。,根據(jù)串聯(lián)組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)公式可知串接補償器后前向通路的傳遞函數(shù)為 G(s)

30、 = Gp(s) Gc(s),設(shè)反饋回路的的傳遞矩陣為G(s)=I，那么系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為: W(s) = [ I + Gp(s) Gc(s) ]-1 Gp(s) Gc(s)用 [ I + Gp(s) Gc(s) ]左乘上式，有 [ I + Gp(s) Gc(s) ] W(s)= Gp(s) Gc(s)即 Gp(s)

31、 Gc(s) [I-W(s)] = W(s),分別用 ， [I-W(s)]-1左乘與右乘上式，有,已知被控對象的傳遞函數(shù)矩陣GP(s)如下，試設(shè)計一補償器Gc(s)，使閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣W(s)為:,根據(jù)補償器Gc(s)的求解公式,有,,狀態(tài)反饋解耦所謂狀態(tài)反饋解耦，即通過對系統(tǒng)設(shè)計狀態(tài)反饋律,構(gòu)造狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)，使得閉環(huán)系統(tǒng)的輸入輸出間實現(xiàn)解耦。狀態(tài)反饋解耦問題的模型描述為:對給定的被控系統(tǒng)的狀

32、態(tài)空間模型為其中 u，y 為 m 維向量,x為n維向量，A為 n×n 方陣，B為n×m 矩陣，C為 m×n 矩陣。,對上述系統(tǒng)，構(gòu)造如下狀態(tài)反饋控制律: u = -Kx + Hv使得閉環(huán)系統(tǒng)的輸入輸出實現(xiàn)完全解耦。這里K是一個m×n的非奇異的反饋矩陣，H是一個m×m的實常數(shù)非奇異矩陣，v是m維的外部輸入向量。

33、我們通常將 v 作為系統(tǒng)的輸入，y 作為系統(tǒng)輸出時，求使該系統(tǒng)解耦的K和H的問題稱為借助于狀態(tài)反饋的解耦問題。,如圖所示的為用狀態(tài)反饋實現(xiàn)解耦的系統(tǒng)。,將狀態(tài)反饋解耦控制律作用在狀態(tài)空間模型上,可得如下閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)空間模型,狀態(tài)反饋解耦問題的目標(biāo)是如何設(shè)計選取矩陣K與H，從而使閉環(huán)系統(tǒng)是解耦的。,狀態(tài)反饋解耦條件對被控系統(tǒng)和狀態(tài)反饋解耦控制律，狀態(tài)反饋解耦系統(tǒng)實現(xiàn)輸入輸出間完全解耦的充分必要條件為如下定義的矩陣E是非奇異矩陣。

34、其中 是系統(tǒng)輸出矩陣C中第i行向量， 是從0到 n - 1 之間的某一正整數(shù)，且 li 應(yīng)該滿足如下不等式的一個最小 j,選取反饋矩陣 K 和前饋矩陣 H 如下 至此，把所得的代入閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型得：,該解耦條件的證明思路為:根據(jù)上述定義的li

35、定義,則可以證明系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為,可以看出W(s)是對角線矩陣，所以其閉環(huán)系統(tǒng)是一個完全解耦系統(tǒng)。另外，傳遞函數(shù)對角元素均是積分環(huán)節(jié)，故稱這樣的系統(tǒng)為具有積分型的解耦系統(tǒng)。,例6-9 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：試用狀態(tài)反饋把系統(tǒng)變成積分型解耦系統(tǒng)。解 給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為,狀態(tài)反饋解耦(10/14),系統(tǒng)存在耦合現(xiàn)象。,開環(huán)系統(tǒng)方框圖,由 C1B=[1 0], C2B=[0 1] 知 l1=l2=0

36、此時有,由于E是非奇異陣，所以系統(tǒng)可以解耦。因此，狀態(tài)反饋解耦矩陣為,此時閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程為：,則系統(tǒng)變成兩個互相無耦合的子系統(tǒng)，如圖所示。,其傳函為,解耦后的系統(tǒng)框圖,另一方面，從式傳遞函數(shù)可以看出，積分型解耦系統(tǒng)的閉環(huán)極點全是零，顯然系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，所以這種解耦方法不令人滿意。解決方法：對完全解耦的每個SISO子系統(tǒng)單獨設(shè)計一個狀態(tài)反饋律將每個解耦的子系統(tǒng)的極點配置到所需要的位置上去。,74,狀態(tài)觀測器的設(shè)計,(1) 系

37、統(tǒng)設(shè)計離不開狀態(tài)反饋(2) 實際系統(tǒng)的狀態(tài)變量不是都能用物理法測得到(3) 需要設(shè)法得到狀態(tài)變量采用狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu),尋求 可以逼近 x,目的：,意義：,漸近狀態(tài)觀測器,方法：,75,,設(shè)線性定常系統(tǒng) 的狀態(tài)矢量 x不能直接檢測。如果設(shè)計一個動態(tài)系統(tǒng) 以 的輸入 u 和輸出 y 作為其輸入量

38、，能產(chǎn)生一組輸出量 漸進于 x 即 ，則 稱為 x 的一個重構(gòu)狀態(tài)或者狀態(tài)觀測器。,一、狀態(tài)觀測器定義,76,,定理：若線性定常系統(tǒng) 完全能觀, 其狀態(tài)矢量 x 可以由輸入 u 和輸出 y 進行重構(gòu)。,二、狀態(tài)觀測器的實現(xiàn)條件,證明：將輸出方程逐次求導(dǎo),77,,由于系統(tǒng)是人為構(gòu)造，因此其所有狀態(tài)的全部可

39、以測量到。,設(shè)計一個與原系統(tǒng) 一樣的觀測系統(tǒng),,工程上實現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)的方法,78,實際工程中，上述狀態(tài)觀測器是不能使用的。 和 x 還存在著較大的誤差。,原系統(tǒng),觀測器,設(shè)誤差,則,因此,,0,79,(1) 如果原系統(tǒng)的狀態(tài)不能完全觀測，則 x(0) 為未知量，不能進行狀態(tài)重構(gòu)。,(2) 如果原系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定， 和 x 之間很小的誤差將被放大， 就不會趨向于 x，無法重構(gòu)。,

40、(3) 模型 只是對物理系統(tǒng)進行的近似描述，不能精確的反映系統(tǒng)的實時變化情況。因此 估計出的系統(tǒng)狀態(tài) 與實際的系統(tǒng)狀態(tài)存在著一定的偏差，觀測性能較差。,80,81,討論估計值與真實值的趨近程度,則：,若能將系統(tǒng)（A-LC）極點配置在復(fù)平面左半邊，則可以保證：當(dāng) 時， 。系統(tǒng)的狀態(tài)變量得以

41、重構(gòu)。,82,A-LC稱為觀測器的狀態(tài)矩陣，A-LC的特征值也稱為觀測器的極點。它對觀測器的性能至關(guān)重要,觀測器極點必須具有負實部，才能實現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)。 觀測器的極點決定了 趨向于 x 的速度。極點的負實部越小，逼近 x 的速度越快，觀測器的響應(yīng)越快。 過大的極點將影響觀測器的抗干擾能力。,如何配置狀態(tài)觀測器的極點？所有系統(tǒng)都可以任意配置觀測器的極點么？,問題：,83,證明：,能觀,,對偶系統(tǒng),能控,則

42、 的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 可通過 K 任意配置極點。,取 ，則系統(tǒng) 可通過 L 任意配置極點。,由于矩陣轉(zhuǎn)置后特征值不變，即,因此，即矩陣(A－LC)的特征值可通過 L 矩陣任意配置。,定理：系統(tǒng) 完全能觀是觀測器極點可以任意

43、配置的充要條件。,84,若AC能觀，則系統(tǒng)必能變?yōu)槟苡^標(biāo)準型。,則觀測器的系統(tǒng)矩陣為：,85,[ A-LC ] , C 仍為能觀標(biāo)準型。,定理：系統(tǒng) 不完全能觀，構(gòu)成觀測器的充要條件是其不能觀的部分漸進穩(wěn)定。,注意： (1) 原系統(tǒng) A, C能觀，系數(shù)矩陣的配置才能實現(xiàn)。 (2) 由于 趨向于 x 需要一個過程，故稱為漸進狀態(tài)觀測器。,86,(1) 觀測器的特征多項式

44、,觀測器的設(shè)計,(2) 選擇期望的 ，求期望的特征多項式：,(3) 與 對應(yīng)系數(shù)相等：,87,解：1、判斷系統(tǒng)能觀測性,所以系統(tǒng)使?fàn)顟B(tài)能觀測的，可構(gòu)造能任意配置極點的狀態(tài)觀測器。,例：已知系統(tǒng),設(shè)計一個狀態(tài)觀測器，使其極點為 -10，-10。,88,2、設(shè)狀態(tài)觀測器為,結(jié)構(gòu)圖：,89,3、實際狀態(tài)觀測器特征多項式,90,4、觀測器期望特征多項式,5、求,6、

45、 系數(shù)對應(yīng)相等,91,注意：,(1) 觀測器的增益矩陣 L 只能保證誤差系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，則得到的估計值也是無界的。,(2) 觀測器的極點應(yīng)該比系統(tǒng)的極點快 2-5 倍為宜，則系統(tǒng)的狀態(tài)估計誤差的衰減比系統(tǒng)快 2-5 倍。,(3) 若 L 過大，則噪聲和干擾放大的倍數(shù)也比較大，影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。,92,降維狀態(tài)觀測器設(shè)計 漸近狀態(tài)觀測器的維數(shù)為n，重構(gòu)的狀態(tài)變量較多，造成整個閉環(huán)系統(tǒng)的階數(shù)

46、較高。 如果觀測器的維數(shù)較低，意味著觀測器可具有較為簡單的形式，從而使工程實現(xiàn)更加方便。 問題：狀態(tài)觀測器的維數(shù) 是否可以降低？,若系統(tǒng)的輸出為狀態(tài)變量的一部分，例如：,狀態(tài)變量向量 x1 即為輸出變量 y, 故該系統(tǒng)只要僅對 x2 設(shè)計狀態(tài)觀測器即可, 對 x1 就沒有必要再設(shè)計狀態(tài)觀測器。,93,利用y直接產(chǎn)生部分狀態(tài)變量，降低觀測器的維數(shù)。若輸出m維，則需要觀測的狀態(tài)為( n – m ) 維。即觀

47、測器的維數(shù)少于狀態(tài)維數(shù) →簡化結(jié)構(gòu)。,已知系統(tǒng) 完全能觀測，系統(tǒng)為 n 維，輸出為 m 個,將系統(tǒng)的輸出矩陣進行分組，前 m 個狀態(tài)變量可直接由輸出 y 獲得，后 n – m 個狀態(tài)變量需要觀測。,94,分組后，系統(tǒng)的狀態(tài)空間可以劃分為如下：,由此可得：,xa = yxb 需要觀測,整理：,xa 能直接獲得，為已知量，xb 需要觀測。因此建立 xb 的狀態(tài)空間表達式。,,,1、把狀態(tài)方程

48、“一分為二”,rank T= n,取,系統(tǒng)方程變換為,式中,2、建立需被觀測部分的狀態(tài)方程,將上式展開：,令,則,,,為了消去 作變換,3、建立子系統(tǒng)的觀測器方程,原系統(tǒng)狀態(tài)變量估計值,4、變換后系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計值為,5、降維狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)圖,（二）設(shè)計,思路 1、實際降維狀態(tài)觀測器的特征多項式和希望觀測器特征多項式的系數(shù)應(yīng)相等。 2、求觀測器方程實現(xiàn),解：系統(tǒng)完全能觀，且 n =3, m = 2, n

49、– m = 1, 只要一維觀測器。,（1）,（2）,（3）求出變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式,降維觀測器特征方程為,希望降維觀測器特征方程為 S + 5 = 0,(6) 原系統(tǒng)狀態(tài)變量估計值,（5）求降維觀測器狀態(tài)方程,106,構(gòu)建狀態(tài)觀測器的目的狀態(tài)反饋控制效果好，但系統(tǒng)狀態(tài)變量通常無法直接測量；采用狀態(tài)觀測器來實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)變量的重構(gòu)，并利估計值作為狀態(tài)反饋值。,問題：狀態(tài)觀測器實現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)的重構(gòu)（估計），但這種依賴狀態(tài)觀測器實

50、現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng)和直接狀態(tài)反饋的系統(tǒng)有什么差別？ (1) 反饋性能是否一樣？ (2) 狀態(tài)反饋極點配置和狀態(tài)觀測器極點配置是什么關(guān)系？ (3) 如何設(shè)計一個帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)？,帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng),107,一、基于觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),1 受控系統(tǒng)：,2 觀測器：,3 控制器：,（能控能觀）,(狀態(tài)反饋控制律),108,109,得閉環(huán)系統(tǒng)：,分塊矩陣形式,該系統(tǒng)含有 2n 個狀態(tài)

51、變量，對應(yīng)有 2n 個極點。,110,二、閉環(huán)系統(tǒng)的基本特性,1、閉環(huán)極點設(shè)計的分離性,由,得,T 為轉(zhuǎn)換因子,111,非奇異變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因此，轉(zhuǎn)換后系統(tǒng)的特征多項式就是原系統(tǒng)的特征多項式：,112,狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器特征多項式相互獨立。所以閉環(huán)系統(tǒng)的特征值有2n 個。,與 K 無關(guān),(1) 只要 A, B 能控，則控通過選擇 K，任意配置系統(tǒng)的閉環(huán)極點 ，實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的性能，即：,(2) 只要 A, C 能觀，

52、則控通過選擇 L，任意配置觀測器的極點 ，滿足觀測器的的性能，即：,分離定理：只要系統(tǒng) 能控能觀，則系統(tǒng)的 K 和 L可分別根據(jù)各自的要求，獨立進行配置。,113,經(jīng)過T 變換后,則,系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為,114,115,傳遞函數(shù)陣的不變性,非奇異線性變換不改變輸入輸出關(guān)系，即傳遞函數(shù)G(s)不變：,根據(jù)分塊求逆公式：,則：,116,結(jié)論：帶觀測器狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于直接狀態(tài)

53、反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，或者說G(s)與是否采用觀測器無關(guān)。,比較帶觀測器狀態(tài)反饋與直接狀態(tài)反饋：,(1) G(s)相同，特征值相同， 基本不變。,(2) 直接狀態(tài)反饋沒有偏差，而漸近狀態(tài)觀測器存在偏差量：,是由初值的偏差引起的，是暫時的，會衰減到0。設(shè)計好 L 值，使觀測器衰減速度快，誤差小。,117,(3) 觀測器反饋與直接狀態(tài)反饋的等效性。 選擇好 L，可使 A - LC 的特征值具有負實部，

54、必有,因此，當(dāng) 時, 必有,當(dāng) ，系統(tǒng)穩(wěn)定時，帶觀測器的狀態(tài)反饋，與直接狀態(tài)反饋是等效的。,118,三、設(shè)計完全等價狀態(tài)反饋陣 K 和觀測器反饋陣 L,例：設(shè)受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為要求狀態(tài)反饋極點配置為 ，設(shè)計帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制器。,根據(jù)傳遞函數(shù)，直接寫出該系統(tǒng)的能控標(biāo)準型：,119,(1) 判斷系統(tǒng)的能觀性,均滿

55、秩，系統(tǒng)能控能觀,(2) 求狀態(tài)反饋矩陣 K 由于系統(tǒng)為二階，設(shè)其狀態(tài)反饋矩陣為,系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項式為：,期望極點的特征多項式為：,對應(yīng)系數(shù)相等，得到：,120,(3) 求漸近狀態(tài)觀測器。,觀測器極點的選取規(guī)則：觀測器的極點離虛軸的距離比閉環(huán)系統(tǒng)希望極點離虛軸的距離大2－5倍。,二階系統(tǒng)，設(shè)觀測器為,因此取觀測器的極點為,觀測器的特征多項式為,期望的特征多項式為,121,兩特征多項式比較得：,觀測器的狀態(tài)方程為：,122

56、,閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖：,（4）求降維觀測器,閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖：,125,使用acker函數(shù)來計算出閉環(huán)反饋控制器 K = acker ( A, B, J ),應(yīng)用Matlab 求解極點配置問題,J = [λ1 λ2 …. λn] 為 n 個期望極點,小結(jié)：要求掌握思路狀態(tài)觀測器產(chǎn)生是現(xiàn)代控制理論成熟的標(biāo)志狀態(tài)方程才能改變，是狀態(tài)反饋的必要條件。,一、全維,,二、降