第二章各向異性材料彈性力學基本知識

1、2 各向異性材料彈性力學基礎,2.1 各向異性彈性力學基本方程2.2 各向異性彈性體的應力-應變關系2.3 正交各向異性材料的工程彈性常數(shù)2.4 正交各向異性材料工程常數(shù)的限制條件,對于直角坐標系oxyz，三個正交平面上的應力張量為,2.1.1 彈性體中任意一點的應力分量,2.1 各向異性彈性力學基本方程,其中：txy = tyx， tzx = txz， tzy = tyz,6個應力分量：sx， sy ， sz ，

2、 txy ， tyz ， tzx,對于直角坐標系oxyz，應變張量為:,2.1.2 彈性體中任意一點的應變分量,其中：exy = eyx= gxy / 2， ezx = exz = gzx / 2 ， ezy = eyz = gyz / 2 。 exy ， ezx ， eyz 為張量切應變， gxy ， gzx ， gyz 為工程切應變。,6個應變分量：ex， ey ， ez ， gxy ， gyz ， gzx,對于直角坐標系oxyz

3、，位移分量:,2.1.3 彈性體中任意一點的位移分量,3個位移分量：u， v ， w,各向異性彈性力學有15個基本未知量：3個位移分量：u， v ， w6個應力分量：sx， sy ， sz ， txy ， tyz ， tzx6個應變分量：ex， ey ， ez ， gxy ， gyz ， gzx,2.1.4 各向異性彈性力學平衡微分方程,其中：fx， fy， fz 為體力分量，r 為密度，t 是時間。,2.1.5 各向異性

4、彈性力學幾何方程,根據(jù)變形協(xié)調方程，應變分量間滿足：,應力邊界條件：,位移邊界條件：,小變形時，應變分量與應力分量間的關系：,其中：C11，C12，…，C66 稱為剛度系數(shù)。,2.1.6 各向異性彈性力學應力-應變關系,寫成矩陣表示式為:,C 矩陣稱為剛度矩陣。,15個基本方程，加上給定的邊界條件，可以確定15個基本未知量。,各向異性彈性力學基本方程與各向同性彈性力學基本方程相比，平衡微分方程、幾何方程相同，只是物理方程不同。,2

5、.2 各向異性彈性體的應力-應變關系（本構關系）,2.2.1 各向異性彈性體的本構關系,用1，2，3 軸代替x，y，z 軸，把應力應變分量符號用簡寫符號表示，相應替代關系為,應力：,應變：,gij 表示工程切應變， eij （i ≠ j）表示張量切應變。,,應力應變線彈性關系：,凡 j 重復，表示由 1,2, …,6 共6項相加。si 是應力分量， ej 是應變分量， Cij 是剛度系數(shù)。,,,對于完全彈性體，當應力 si 作

6、用于應變增量 dei 時，單位體積外力功的增量為 dA，即應變能密度增量 dW,應變能與加載過程無關,,沿整個加載變形過程積分，應變能密度為,應變能密度為應變分量的二次函數(shù)。,剛度矩陣 C 為對稱矩陣，只有21個剛度系數(shù)是獨立的，即,,,,,Sij 為柔度系數(shù)，柔度矩陣 S = C -1，也為對稱矩陣，即Sij = Sji， 也只有21個柔度系數(shù)是獨立的。,各向異性材料的應變能密度表達式為,,2.2.2 幾種常見對稱材料的應力-應變關系

7、,絕大多數(shù)工程材料具有對稱的內部結構，因此材料具有彈性對稱性。 常見的對稱材料有單對稱材料、正交各向異性材料、橫觀各向同性材料和各向同性材料。,,1. 單對稱材料的應力-應變關系 材料內每一點都存在一個彈性對稱面，則稱該材料為單對稱材料。關于彈性對稱面對稱的任意兩個方向上的彈性性質是相同的。 例如取1-2坐標平面與彈性對稱面平行，3 軸與彈性對稱平面垂直，過 o 點按坐標方向切取一微單元體。由

8、彈性對稱面定義可知，將 3 軸轉到 3’軸，應力-應變關系保持不變。,當 3 軸換成 3’ 軸時，,123坐標系下，材料的應變能密度為,123’ 坐標系下，材料的應變能密度為,材料的應變能密度為,應變能密度W是應變狀態(tài)的單值函數(shù)，是標量，與坐標系的選擇無關。為保證W 值不變，含g23和g13的一次項（即e4和e5 ）的剛度系數(shù)等于零。,獨立的剛度系數(shù)減為13個,同樣為保證W 值不變，含 t23 和 t13 的一次項的柔度系數(shù)等于零。,獨

9、立的柔度系數(shù)減為13個,,討論材料彈性對稱性的物理意義 取單對稱材料，僅在3-3’方向加正應力，即s3≠0，其他應力分量均為零。,,垂直于彈性對稱面的正應力只引起正應變和垂直于正應力平面的切應變。材料彈性對稱性的存在，可降低正應力和切應變或切應力與正應變的耦合程度，降低材料各向異性。,,2. 正交各向異性材料 材料中的每一點都存在三個相互垂直的彈性對稱面，稱作正交各向異性體。材料有三個正交的彈性主軸。1-

10、2 面、 1-3 面 和 2-3 面均為彈性對稱面。,按單對稱材料分析方法有,獨立剛度系數(shù)減少為9個,對于正交各向異性材料，正應力只引起正應變，切應力只引起切應變。正應力與切應變或切應力與正應變之間沒有耦合，這一點是和各向同性材料相同。,獨立柔度系數(shù)減少為9個,3. 橫觀各向同性材料 材料中的每一點都存在三個相互垂直的彈性對稱面，但其中的一個平面是各向同性的，稱為橫觀各向同性材料。取1-2 面為各向同性面，1，2，3 軸都是

11、彈性主方向。與3 軸有關的系數(shù) S33 、S13 、 S44 、C33 、C13 、S44 都獨立。,某點應力狀態(tài)：,將坐標 1-2 在面內轉 45°，新坐標 1’-2’下的應力分量,,,5個獨立彈性常數(shù),4. 各向同性材料 材料具有無窮多個性能對稱平面，稱為各向同性材料。這種材料對于三個相互垂直的彈性對稱面的彈性性能完全相同。剛度系數(shù)、柔度系數(shù)分別滿足,獨立彈性常數(shù)2個,2.3 正交各向異性材料的工程彈性常

12、數(shù),除了表示材料彈性特性的剛度系數(shù) Cij 、柔度系數(shù) Sij 外，工程上常用工程彈性常數(shù)來表示材料的彈性特性。 大型通用結構有限元分析軟件輸入復合材料的彈性性能時，也要求按工程彈性常數(shù)形式給出。 工程彈性常數(shù)：拉壓彈性模量 Ei 、剪切彈性模量 Gi 和泊松比 nij 。 工程彈性常數(shù)可用三個單向拉伸和三個純剪切試驗測定。,s1,,s1,1方向單向拉伸試驗：s1≠0，其他應力均為零。,,s3,

13、,s3,2方向單向拉伸試驗：s2≠0，其他應力均為零。,,3方向單向拉伸試驗：s3≠0，其他應力均為零。,,,s2,s2,1-2面、2-3面和1-3面純剪切試驗：,用工程常數(shù)來表示的正交各向異性材料的柔度矩陣,Ei（i =1，2，3）表示沿材料主方向 i 的彈性模量 。,nji 表示由于沿材料主方向 j 作用應力sj 時，材料主方向 i 應變與主方向 j 應變的負值，稱為泊松比 。Gij 表示在 i-j 平面的剪切模量。,,

14、（i，j＝1，2，3，但i≠j）,三個互等關系：,,,用工程常數(shù)來表示的正交各向異性材料的應力-應變關系,正交各向異性材料的剛度系數(shù)：,,,2.4 正交各向異性材料工程常數(shù)的限制條件,2.4.1 各向同性材料工程彈性常數(shù)的限制條件,各向同性材料工程彈性常數(shù) E、G、n 之間的相互關系,,各向同性體受到靜水壓力 –p 作用時的體積應變?yōu)?體積模量,,各向同性材料泊松比取值范圍,2.4.2 正交各向異性材料工程彈性常數(shù)的限制條件,材料應變能

15、密度,考慮材料承受單向拉應力s1,正交各向異性材料的剛度矩陣 C 和柔度矩陣 S 主對角線元素大于零，剛度矩陣 C 和柔度矩陣 S 正定。,,柔度矩陣正定,,,,,,三個泊松比的乘積小于1/2,例2-1：通過實驗得玻璃鋼單層板實驗數(shù)據(jù)：,試由工程彈性常數(shù)的限制條件驗證實驗數(shù)據(jù)。,解：,,計算結果表明，實驗數(shù)據(jù)合理。,例2-2：由碳纖維增強聚合物制得的正交各向異性材料的工程彈性常數(shù)為,試求其剛度矩陣和柔度矩陣。,解：,計算柔度系數(shù),計算其