13.就《對(duì)一道中學(xué)生物理競(jìng)賽試題答案的商榷》一文的討論

1、<p>　　13.就《對(duì)一道中學(xué)生物理競(jìng)賽試題答案的商榷》一文的討論</p><p><b>　　陳奎孚</b></p><p>　　(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院74#，北京100083)</p><p>　　摘要 師教民等作者對(duì)2009年一道中學(xué)生物理競(jìng)賽試題的參考答案進(jìn)行了商榷，并對(duì)朱如曾再商榷文章進(jìn)行了答復(fù).筆者就師教民等作者的文章中有

2、關(guān)問題進(jìn)行了討論，指出在動(dòng)參考系下，彈簧的勢(shì)能是彈簧兩端位移的二元函數(shù)，其全微分應(yīng)包括全部端點(diǎn)的貢獻(xiàn)，而師教民等人的失誤是未考慮遠(yuǎn)離小球一端位移的貢獻(xiàn).此外，相關(guān)文章對(duì)“力的傳遞”、“功”，“變形體”、“彈性勢(shì)能”等基本力學(xué)概念的理解也有不妥之處，本文也將略加評(píng)述.</p><p>　　關(guān)鍵詞 物理競(jìng)賽;動(dòng)參考系;慣性系;勢(shì)能;全微分;機(jī)械能;機(jī)械能守恒</p><p>　　Remarks

3、 on ‘Discussion on the answer of a middle school student’s contest question”</p><p>　　Chen Kui Fu</p><p>　　(College of Science #74， China Agricultural University， Beijing 100083)</p><

4、p>　　Abstract Shi Jiao-ming et al. published a paper discussing the solution to a problem from the 2009 middle school student’s physics competition of China. Zhu Ru-zeng disagreed with SHI Jiao-ming’s opinion and pres

5、ented a commentary paper. Shi Jiao-ming already presented a reply rebutting against Zhu Ru-zeng’s comments. In this paper， I will remark on the Shi Jiao-ming’s initial and rebuttal papers. It will be pointed out that the

6、 elastic potential of a spring observed from a moving frame is a bi</p><p>　　Keyword: physics competition; moving reference system; inertial frame; potential energy; exact differential; mechanical energy; co

7、nservation of mechanical energy</p><p><b>　　0.話題</b></p><p>　　李學(xué)生和師教民近期發(fā)表了一篇針對(duì)2009年第26屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試卷第三題第１小題的標(biāo)準(zhǔn)答案的商榷文章[1]，引起的反響很大，如東北師范大學(xué)物理學(xué)院教授孟昭輝對(duì)文[1]的錯(cuò)誤進(jìn)行了剖析[2]，曾任力學(xué)進(jìn)展常務(wù)副主編的朱如曾先生再商榷

8、了文[1] [3]，隨后原文作者之一師教民對(duì)文[3]進(jìn)行了反駁[4].鄭金用特殊情形否定了文[1]的觀點(diǎn)[5].因文[1]所討論的話題曾經(jīng)爭(zhēng)議了五十多年[6,7]，所以它發(fā)表后立即受到了正面引用[8].筆者與文[2]和文[3]的看法一致，即文[1]的觀點(diǎn)是不妥的.本來文[2]和[3]的討論已經(jīng)很到位了，然而筆者還是想就自己的認(rèn)識(shí)對(duì)文[1]和文[4]中的相關(guān)說辭進(jìn)行一番討論，這有如下原因.首先，機(jī)械能守恒是物理和力學(xué)中很基本問題，影響面太

9、廣(如文[8]對(duì)文[1]的迅速的正面引用) ，容不得錯(cuò)誤和模糊; 其次，有文[4]的“言之鑿鑿”的反駁需要辨析；第三，筆者不想讓學(xué)生、學(xué)者和教師等感興趣者浪費(fèi)有限的時(shí)間和精力.</p><p>　　原競(jìng)賽題為：一質(zhì)量為m的小球與一勁度系數(shù)為k的彈簧相連組成一體系，置于光滑水平桌面上，彈簧的另一端與固定墻面相連，小球做一維自由振動(dòng).試問：在一沿此彈簧長(zhǎng)度方向以速度u做勻速運(yùn)動(dòng)的參考系里觀察，此體系的機(jī)械能是否守恒，

10、并說明理由.</p><p>　　參考答案為：否.原因是墻壁對(duì)于該體系而言是外界，墻壁對(duì)彈簧有作用力，在運(yùn)動(dòng)參考系里此力的作用點(diǎn)有位移，所以對(duì)體系做功，從而改變這一體系的機(jī)械能.</p><p>　　試題除了“以速度u做勻速運(yùn)動(dòng)的參考系”這個(gè)表述外都很清楚.如果能表述說“相對(duì)地面以速度u做勻速運(yùn)動(dòng)的參考系”，則會(huì)更明確.不過，爭(zhēng)議雙方都已經(jīng)默認(rèn)了“相對(duì)地面”，并無分歧.參考答案是正確無誤的

11、.</p><p><b>　　1.全微分不全</b></p><p>　　文[1]認(rèn)為參考答案是錯(cuò)誤的，論證的手段是數(shù)學(xué)演繹，然而該演繹有一個(gè)關(guān)鍵失誤，即文[1]式(4)下方的(本段隨后敘述根據(jù)文[1])</p><p><b>　　(1)</b></p><p>　　式中：，，分別是勻速運(yùn)動(dòng)參考

12、系中觀察到彈簧勢(shì)能，小球位移和位移的微分；為彈性勢(shì)能的微元；為小球所受到的力.</p><p>　　如果動(dòng)參考系的速度u=0，那么就回到了(見圖1)，式(1)無疑是正確的，但是如果的坐標(biāo)原點(diǎn)也在運(yùn)動(dòng)，那么再使用式(1)就不合適了.比如圖2的兩個(gè)自由度系統(tǒng)，第二個(gè)彈簧的勢(shì)能按照式(1)的邏輯究竟應(yīng)該為 還是 呢？顯然二者都不對(duì).應(yīng)該和的二元函數(shù)(其實(shí)勢(shì)能應(yīng)該寫成，并進(jìn)一步可以表示成單變量函數(shù)的形式，但是為了與文[1

13、]的符號(hào)一致，還是用了)，它的全微分應(yīng)該為</p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　回到圖1的模型，在動(dòng)參考系里觀察，彈簧的左端不再保持不動(dòng)，如圖3所示模型.在圖3中，彈簧左右兩個(gè)端點(diǎn)各有一個(gè)參考原點(diǎn)，這兩個(gè)原點(diǎn)隨動(dòng)參考系一起勻速運(yùn)動(dòng).左右兩個(gè)端點(diǎn)相對(duì)動(dòng)參考系的位移分別為和.如同圖2，在動(dòng)參考系中觀察到的彈簧勢(shì)能是和的函數(shù)，即，所以</p

14、><p><b>　　(3)</b></p><p><b>　　其中的.</b></p><p>　　式(1)失誤在于把式(3)右邊的第二項(xiàng)丟掉了，它正是墻壁作用力對(duì)系統(tǒng)所做的元功.第二項(xiàng)的存在，是動(dòng)參考系中機(jī)械能不守恒的數(shù)學(xué)表現(xiàn).高炳坤先生早就論述過這個(gè)問題了[9].</p><p>　　若在圖1的

15、靜參考系中觀察，彈簧勢(shì)能確實(shí)是的單變量函數(shù)， 是勢(shì)能的全微分.但是在動(dòng)參考系中，如果把式(3)的第二項(xiàng)丟掉，就不再是的全微分，其積分后所得的表達(dá)式也失去了作為勢(shì)能的資格.</p><p>　　2. 有關(guān)說辭的辨析</p><p>　　本節(jié)主要對(duì)文[1，4]中與力學(xué)相關(guān)的說辭進(jìn)行辨析.</p><p>　　文[1]在解題前有“本題是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)問題，根據(jù)牛頓第二定律，由于

16、力只能作用在有質(zhì)量的物體上，輕質(zhì)彈簧抽去其質(zhì)量屬性后，只是作為傳遞力的工具（這是理想化的模型），地面參考系和小球通過彈簧的彈力相互作用.小球與彈簧可伸縮的部分組成彈簧振子體系，</p><p>　　所以小球的機(jī)械能就是彈簧振子體系的機(jī)械能.”.這段說辭中有如下幾個(gè)問題.</p><p>　　(1) “力只能作用在有質(zhì)量的物體上”無法從牛頓第二定律得出來.對(duì)質(zhì)點(diǎn)中的是合外力.如果不是質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)

17、量只意味著所有外力的矢量和為零，即當(dāng)彈簧質(zhì)量忽略后，墻壁對(duì)彈簧的作用力矢量與小球?qū)椈傻淖饔昧κ噶亢掀饋淼扔诹?注意是矢量和為零，不是合力為零，見下面的(4)).另外文[4]也堅(jiān)持：“力不能對(duì)沒有質(zhì)量的物體做功” ；“朱文就不能計(jì)算兩個(gè)外力…… 對(duì)彈簧所做的總功（若硬要計(jì)算則應(yīng)把彈簧視為質(zhì)點(diǎn)，但是，因此產(chǎn)生的把彈簧視為質(zhì)點(diǎn)與忽略彈簧質(zhì)量的矛盾應(yīng)由朱文負(fù)責(zé)）、而只能計(jì)算小球或振子這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的總功了”等說辭當(dāng)然也不恰當(dāng).力是否只能對(duì)有質(zhì)量的物

18、體做功能？答案是否.因?yàn)榱κ噶吭?，其中是受力物體上與力作用點(diǎn)相重合那點(diǎn)位移的微元. 與受力物體是否有質(zhì)量無關(guān).至于“被作用對(duì)象的質(zhì)量為0時(shí)，加速度可能會(huì)無窮大”的擔(dān)心根本沒必要，因?yàn)楸蛔饔脤?duì)象上還可能有其他力的作用.再者，被作用對(duì)象也可把力的功轉(zhuǎn)換成其他形式的能量，比如彈簧把能功儲(chǔ)藏為彈性勢(shì)能.</p><p>　　(2) “輕質(zhì)彈簧抽去其質(zhì)量屬性后，只是作為傳遞力的工具”的“傳遞力的工具”很不恰當(dāng).當(dāng)彈簧質(zhì)

19、量不計(jì)時(shí)，墻壁對(duì)彈簧的作用力與彈簧對(duì)小球的作用力的大小確實(shí)相等，方向也確實(shí)相同(見圖4)，但是二者的作用點(diǎn)不同(施力物體和受力物體也當(dāng)然不同).在本題中，二者的作用點(diǎn)位移更不同(振子的振動(dòng)必然導(dǎo)致這個(gè)不同)，所以它們無法等效，因而不能把墻壁作用在彈簧上的力直接作用到小球上.力有可傳性，但這種“傳”只能在同一剛體內(nèi)部傳遞，然而這里彈簧是變形體(也正是利用了彈簧的變形性質(zhì)，才發(fā)生了振動(dòng)現(xiàn)象)，所以不能簡(jiǎn)單地把力傳過彈簧.當(dāng)然，若小球處于平衡

20、狀態(tài)，那么根據(jù)剛化原理可把彈簧當(dāng)成剛體模型處理，小球的平衡狀態(tài)不變.此時(shí)，操作上可把墻壁對(duì)彈簧的力傳遞到小球(這個(gè)“傳遞”與彈簧是否有質(zhì)量也無關(guān))，但剛化原理的前提是小球要處于平衡狀態(tài)，然而本題的小球在振動(dòng).綜上，文[1]的最后一段“由于在這個(gè)問題中彈簧僅僅是傳遞彈力，約束力與保守力是同一個(gè)力”必然是不正確的.</p><p>　　(3)“小球的機(jī)械能就是彈簧振子體系的機(jī)械能”也不恰當(dāng).小球只有動(dòng)能，振子的勢(shì)能儲(chǔ)

21、存在彈簧中.在重力場(chǎng)中，“小球的勢(shì)能”指的是小球的重力勢(shì)能，即小球在地球重力場(chǎng)中的勢(shì)能.在不引起誤解的語境下，我們使用 “小球的勢(shì)能”—但這絕不是說小球自己就有勢(shì)能.故而文[4]中“因此，研究彈簧振子系統(tǒng)的機(jī)械能只能研究質(zhì)點(diǎn)小球或振子的動(dòng)能和勢(shì)能而不能再研究彈簧的勢(shì)能了.事實(shí)上，彈簧振子系統(tǒng)的彈性勢(shì)能也就是質(zhì)點(diǎn)小球或振子的勢(shì)能”表述不恰當(dāng).文[4]所引用的文[10]陳述“質(zhì)點(diǎn)在彈力作用下相對(duì)于平衡位置的彈性勢(shì)能”中的“在彈力作用下相對(duì)于

22、平衡位置的”的修飾語是很準(zhǔn)確的，丟了這個(gè)修飾語就不合適了.</p><p>　　除此之外，文[4]還有很多不恰當(dāng)?shù)牡胤?，明顯之處評(píng)述如下.</p><p>　　(4) 文[4]中“這兩個(gè)外力的合力為零，即……．所以這兩個(gè)外力在彈簧運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)彈簧在位移所做的總功為零”說法是不恰當(dāng)?shù)?這是因?yàn)閮蓚€(gè)外力能不能“合”是有條件的，即合前和合后的力學(xué)效果要相同，而不能說數(shù)值相反，它們的合力就為零.對(duì)

23、于剛體，兩個(gè)力大小相等，方向相反，作用在同一條直線上，可以合成為一個(gè)零力系，而本題彈簧為變形體，作用在兩端的力是不能合的，它會(huì)把彈簧拉長(zhǎng)或壓短，而零力系沒這個(gè)效果—就如同兩個(gè)同學(xué)分油條：在油條兩端用相等的力和不用力拉的力學(xué)效果是不同的.</p><p>　　(5) 文[4]中“彈性勢(shì)能的變化也僅僅與彈簧的伸縮量或振子的位移……有關(guān)”有錯(cuò)誤.彈簧的伸縮量是彈簧兩端的位移差，而不能“或”成振子的位移，即表述中的應(yīng)該是

24、.正是這個(gè)錯(cuò)誤，在數(shù)學(xué)演繹上導(dǎo)致了文[1]錯(cuò)誤的結(jié)果.</p><p>　　(6) 文[4]中“彈簧（應(yīng)為質(zhì)點(diǎn)）做的是勻速運(yùn)動(dòng)，所以彈簧（應(yīng)為質(zhì)點(diǎn)）在運(yùn)動(dòng)方向上受到的合外力為零”的說法是錯(cuò)誤的.“合外力為零”的錯(cuò)誤前面已經(jīng)論述過.對(duì)彈簧振子，彈簧所起的作用不是質(zhì)點(diǎn)，而是變形體.變形體各處的位移和速度都不相同，當(dāng)然不能說彈簧做勻速運(yùn)動(dòng).</p><p>　　(7) “朱文的３種證明之二說的【

25、反證法證明】是錯(cuò)誤的”和“所以朱文提出【在小車上看這個(gè)系統(tǒng)的勢(shì)能怎么能保持不變呢】的疑問就不是質(zhì)疑我們了”是不恰當(dāng)?shù)?朱如曾先生構(gòu)造的反例很巧妙.但是文[1]的作者沒有認(rèn)真思考這個(gè)反例，而是從自己錯(cuò)誤(本文式(1))出發(fā)進(jìn)行自圓其說. </p><p>　　(8) “朱文干嗎非要把我們的‘做功負(fù)值’強(qiáng)行改成是【小球動(dòng)能微分的相反數(shù)】不可呢”是不恰當(dāng)?shù)?朱如曾先生證明3實(shí)質(zhì)是為了理解文[1]錯(cuò)誤的原因和所導(dǎo)致不合理

26、結(jié)果，并非要“強(qiáng)行改成”.</p><p>　　另外文[5]也有值得商榷的地方.</p><p>　　(9)文[5]“瞬時(shí)功”的概念不恰當(dāng).功是力對(duì)一段過程(必然需要一段時(shí)間)的累積量，無“瞬時(shí)”概念.功率可以隨時(shí)間變化,有瞬時(shí)功率的說法.另外，計(jì)算1/4周期功用積分辦法很容易，而文[5]所采用平均力的做法的應(yīng)用面很窄，尤其對(duì)大學(xué)物理教學(xué)應(yīng)該徹底回避這種辦法.</p><

27、;p>　　(10)文[5]的“在恒速參考系中，墻壁彈力對(duì)彈簧所做的功與小球的質(zhì)量、速度以及參考系的速度有關(guān).也可說成是墻壁對(duì)小球間接做功，稱為‘借物傳功’.”表述沒有邏輯關(guān)系，不可以說因?yàn)閰?shù)A與B的一個(gè)參數(shù)有關(guān)，就把A傳到B了.物理是精準(zhǔn)學(xué)科，“借物傳功”這種比喻性的模糊詞匯盡量少用，但文[5]甚至利用它來推演其他結(jié)果.</p><p>　　(11)文[5]的“這表明，由彈簧、小球和墻壁所組成系統(tǒng)的彈性勢(shì)

28、能等于彈簧的彈性勢(shì)能與彈簧對(duì)墻壁所做的功之和”說法是錯(cuò)誤的.本題彈簧的彈性勢(shì)能就是系統(tǒng)彈性勢(shì)能.文[5]的作者大概想解釋這段文字前面的等式，但是該等式還有這一項(xiàng)，它表示小球?qū)椈傻脑?</p><p>　　(12)文[5]的“也可視為墻壁對(duì)彈簧所做的功，那么彈簧彈力對(duì)墻壁所做的功為”的邏輯混亂.本來就是墻壁直接對(duì)彈簧做功，不知為什么非要“借物傳功”，繞道小球？</p><p>　　3.

29、 不同參考系的機(jī)械能守恒</p><p>　　靜止慣性參考系中機(jī)械能守恒的系統(tǒng)，在勻速運(yùn)動(dòng)的參考系中觀察的機(jī)械能怎么能不守恒呢？在物理模型上我們也找不到耗散能量的因素呀？這個(gè)糾結(jié)必須解開.</p><p>　　3.1 站到地球之外的慣性系看</p><p>　　企圖解開這一糾結(jié)的立即想法是把地球的作用也考慮進(jìn)來.如果把地球考慮進(jìn)來，靜止慣性參考系就只能選擇地球之外的

30、更高級(jí)別的慣性系，比如太陽參考系，總之靜止慣性參考系是理想的，速度和加速度都是0.就討論振子機(jī)械能的目的而言，其它天體的作用和地球的自轉(zhuǎn)都要忽略掉(或者相互抵消)，地球也被當(dāng)成一個(gè)均勻球形剛體，或者更進(jìn)一步簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，地球和小球之間只有彈簧力的作用，如圖5所示.記小球和地球的質(zhì)量分別為，各自相對(duì)靜止慣性參考系的速度分別為，彈簧的勢(shì)能為，則有</p><p><b>　　(4)</b><

31、/p><p>　　式中為系統(tǒng)能量常量.假定還有一個(gè)以恒定速度運(yùn)動(dòng)的參考系，在這個(gè)動(dòng)參考系中觀察到的小球和地球速度分別為，相應(yīng)的機(jī)械能為(彈簧勢(shì)能仍然不變)</p><p><b>　　(5)</b></p><p><b>　　將代入有</b></p><p><b>　　進(jìn)一步整理可得<

32、;/b></p><p><b>　　(6)</b></p><p>　　式(6)等號(hào)左端第一個(gè)圓括號(hào)內(nèi)為靜止系中看到的系統(tǒng)機(jī)械能，第二個(gè)圓括號(hào)內(nèi)也是常量.第三個(gè)圓括號(hào)內(nèi)為靜止系中觀察到的系統(tǒng)動(dòng)量.前面已經(jīng)聲明，其他外力忽略不計(jì)，所以動(dòng)量也不隨時(shí)間變化.</p><p>　　綜上，在相對(duì)于理想靜止慣性參考系作勻速動(dòng)參考系中，觀察到的機(jī)械能

33、也守恒.因?yàn)槭?4)到式(6)沒有利用的具體形式，所以對(duì)任何類型的勢(shì)能，如重力、理想彈簧力等等，都是成立的.</p><p>　　3.2 站到地球表面看</p><p>　　圖5與圖1相比，我們感覺相對(duì)于地面的動(dòng)參考系要親切一些，因?yàn)楫吘勾蠖鄶?shù)人的生活和生活所依賴的工具，如房子、汽車、辦公桌等等，都是相對(duì)于地面的(或者地球表面的).此時(shí)的，把它們代入式(5)有</p><

34、;p><b>　　(7)</b></p><p>　　在前面的論述中，我們有兩個(gè)守恒量和，以及一個(gè)有感覺的.為了便于對(duì)式(7)討論，我們應(yīng)該把它換成為，和的表達(dá)式.由可解出</p><p><b>　　(8)</b></p><p><b>　　代入式(4)可得</b></p>&

35、lt;p><b>　　(9)</b></p><p><b>　　再代入式(7)有</b></p><p><b>　　(10)</b></p><p>　　式(10)等號(hào)右邊前兩項(xiàng)為常量，第三項(xiàng)則會(huì)隨時(shí)間變化，所以在地面上觀察到的機(jī)械能不守恒.其本質(zhì)是固定于地球表面參考系不是慣性參考系(因?yàn)閺?/p>

36、簧的反作用)，但所幸的是地球質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于被觀察物體的質(zhì)量，從而不守恒量很小.如1000kg的物體以相對(duì)于地面1000m/s的速度運(yùn)動(dòng)(接近3倍音速)，第三項(xiàng)也只有8.365×10-17 J(地球質(zhì)量按5.977×1024 kg計(jì)算).</p><p>　　3.3 從相對(duì)地球表面勻速運(yùn)動(dòng)的參考系看</p><p>　　如果像圖1那樣，參考系相對(duì)于地球表面有速度，情形又不一

37、樣了.假定此動(dòng)參考系相對(duì)地面的速度為，則被觀察對(duì)象的相對(duì)速度為，再與動(dòng)量守恒式聯(lián)合可解得</p><p><b>　　(11)</b></p><p>　　代入式(4)解出，把再代入式(7)，整理可得(注意是彈簧-小球的機(jī)械能，不要計(jì)入地球的相對(duì)動(dòng)能)</p><p><b>　　(12)</b></p>&

38、lt;p>　　式(12)右邊前三項(xiàng)與式(10)相同，幾乎不隨時(shí)間變化，第四項(xiàng)也是常量，但第五項(xiàng)因隨時(shí)間變化而不能無條件地為常量，所以系統(tǒng)的機(jī)械能可能不守恒，就如同圖1的模型.當(dāng)然如果，也就是參考系相對(duì)于地面靜止，那么式(12)回到了式(10)幾乎守恒情形.這有點(diǎn)哭笑不得，原來我們?cè)诘厍蛏狭?xí)以為常的機(jī)械能守恒只是一種數(shù)值巧合！</p><p>　　因?yàn)榈厍虻南鄬?duì)速度為常量，進(jìn)而動(dòng)能為常量，所以即使把地球動(dòng)能也

39、考慮進(jìn)來，也不守恒.文[5]的“由于墻壁的動(dòng)能保持不變，所以由彈簧、小球和墻壁組成系統(tǒng)的機(jī)械能始終守恒”表述也不妥.</p><p>　　還有一種情況是始終與垂直，如質(zhì)點(diǎn)沿垂直方向運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)參考系沿水平方向運(yùn)動(dòng)，則式(12)的不隨時(shí)間變化.</p><p>　　若只關(guān)心兩個(gè)時(shí)刻之間的機(jī)械能關(guān)系(不關(guān)心過程)，記速度分別為和，那么保證了</p><p><b&g

40、t;　　(13)</b></p><p>　　則能保證兩個(gè)時(shí)刻的機(jī)械能相等，但這種情形往往就不再被稱為機(jī)械能守恒了.</p><p>　　3.4 慣性力做功的解釋</p><p>　　式(6)的能成為常量的前提是第三個(gè)圓括號(hào)內(nèi)的為常量，但因?yàn)椴皇浅Ａ?，所以肯定也不是常量，也就是說地球是有加速度的，而相對(duì)地球作勻速運(yùn)動(dòng)的參考系也就不再是慣性系，所以在這個(gè)參

41、考系中看到的機(jī)械能式(12)不守恒就可以心安理得地接受了[11~13].</p><p>　　認(rèn)識(shí)到地面是非慣性系，讓我們能夠坦然接受式(12)的不守恒，但慣性力能否解釋式(12)的全部不守恒因素呢？答案是肯定的.論證如下.</p><p>　　地球和小球都要加慣性力，二者分別為</p><p><b>　　(14)</b></p>

42、<p><b>　　(15)</b></p><p>　　地球慣性力對(duì)地球所做的功為(此處的地球本質(zhì)為質(zhì)點(diǎn)，慣性力的作用點(diǎn)就在地球“質(zhì)點(diǎn)”上)</p><p><b>　　將式(14)代入有</b></p><p><b>　　積出為</b></p><p>　　

43、其中是地球在時(shí)刻的速度.將式(11)和(為被研究對(duì)象在時(shí)的速度)代入有</p><p><b>　　(16)</b></p><p>　　式中是被研究對(duì)象在時(shí)相對(duì)動(dòng)參考系的速度.</p><p>　　小球慣性力對(duì)小球所做的功為</p><p>　　把式(11)的代入有</p><p><b&

44、gt;　　積出為</b></p><p><b>　　(17)</b></p><p>　　的確可以驗(yàn)算出為常量，即</p><p><b>　　(18)</b></p><p>　　不隨時(shí)間變化.盡管式(18)得到了一個(gè)常量，但不宜再套用守恒的術(shù)語，而是用動(dòng)能定理(或功能原理)，是考慮

45、了慣性力的動(dòng)能定理(功能原理)的運(yùn)用.</p><p>　　比較式(12)、式(16)和式(17)可知，慣性力對(duì)地球的功解釋了式(12)的最后一項(xiàng)的不守恒，而慣性力對(duì)小球的功解釋了式(12)的第三項(xiàng)不守恒，當(dāng)然這一項(xiàng)很小.</p><p>　　總之相對(duì)地球勻速運(yùn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系中觀察到的機(jī)械能不守恒現(xiàn)象，可被慣性力的功全部解釋.</p><p>　　還有一種情形比較有趣

46、，即假定為無窮大.此時(shí)式(12)的第二項(xiàng)變成0，即式(10)的不守恒項(xiàng)不復(fù)存在.但式(12)的第四項(xiàng)變成仍然存在.由于假定為無窮大，所以彈簧對(duì)墻壁的有限作用力引起的地球加速度為0，進(jìn)而動(dòng)參考系O'x'y'z'就應(yīng)該是慣性系.此時(shí)，地面是慣性系，O'x'y'z'也是慣性系，但所觀察的機(jī)械能在前者守恒(式(10))，但是在后者不守恒(式(12)).這時(shí)因數(shù)學(xué)上遇到了極限運(yùn)算，物

47、理意義是在地球的“無限大”動(dòng)能上再加上“有限”的功，仍是無限大動(dòng)能.</p><p><b>　　4.結(jié)束語</b></p><p>　　筆者指出在動(dòng)參考系下，彈簧的勢(shì)能是彈簧兩端位移的二元函數(shù)，其全微分應(yīng)包括全部端點(diǎn)的貢獻(xiàn)，而有關(guān)文章的失誤是丟掉了遠(yuǎn)離小球一端位移微元的貢獻(xiàn).</p><p>　　在慣性坐標(biāo)系、地面坐標(biāo)系和相對(duì)地面勻速運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)

48、系的三個(gè)層面討論了機(jī)械能守恒性，并利用慣性力的功解釋了相對(duì)地面勻速運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的機(jī)械能不守恒現(xiàn)象.</p><p>　　對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)中若干說辭進(jìn)行了辨析，但筆者感到一絲茫然.基本概念和基本理論是一門課程最核心的內(nèi)容，比如力的三要素：大小、方向和作用點(diǎn)，一個(gè)都不能少，只有在特殊條件下，才能進(jìn)行簡(jiǎn)化，而使用簡(jiǎn)化結(jié)論一定要注意簡(jiǎn)化的條件.從辨析中可以看出，部分教師，仍然對(duì)力的三要素這些教學(xué)核心內(nèi)容理解不到位.</p&

49、gt;<p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 李學(xué)生，師教民. 對(duì)一道中學(xué)生物理競(jìng)賽試題答案的商榷[J]. 物理通報(bào). 2014,(9):119~120</p><p>　　[2] 孟昭輝. 運(yùn)用機(jī)械能守恒定律解題的參照系問題——對(duì)“對(duì)一道中學(xué)生物理競(jìng)賽試題答案的商榷”一文的不同意見[J].物理教師.2015,36(2):94&

50、lt;/p><p>　　[3] 朱如曾. 彈簧振子相對(duì)于運(yùn)動(dòng)慣性系的機(jī)械能不守恒--關(guān)于“對(duì)一道中學(xué)生物理競(jìng)賽試題答案的商榷”的商榷[J].物理通報(bào).2015,(4): 100~103</p><p>　　[4] 師教民. 答《彈簧振子相對(duì)于運(yùn)動(dòng)慣性系的機(jī)械能不守恒——關(guān)于〈對(duì)一道中學(xué)生物理競(jìng)賽試題答案的商榷〉的商榷》[J]. 物理通報(bào). 2015,(7):115~118</p>

51、<p>　　[5]鄭金.對(duì)一道物理競(jìng)賽題的兩種互異解答的探討[J]. 物理通報(bào). 2015,(07):109-112</p><p>　　[6]熊秉衡. 在不同慣性系中的機(jī)械能守恆定律[J]. 物理通報(bào).1964,(6):261-264</p><p>　　[7]高炳坤.“機(jī)械能守恒定律是否遵從相對(duì)性原理”辨[J].大學(xué)物理. 2000,19(2):21~22</p>

52、;<p>　　[8]劉明成,劉文芳,趙文桐. 引力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立[J].物理通報(bào),2015,(6):123-124</p><p>　　[9]高炳坤. 一個(gè)保守力作的功等于勢(shì)能的減少嗎? [J].大學(xué)物理. 2001,20(5):19~21</p><p>　　[10]梁紹榮,劉昌年,盛正華.普通物理學(xué)（第１分冊(cè)）力學(xué)[Ｍ]. 北京:高等教育出版社,1987.

53、164</p><p>　　[11]高炳坤等.地球所受的一種易被忽視的慣性力[J].大學(xué)物理, 1991 , 10(11):46-47</p><p>　　[12]高炳坤.力學(xué)中一個(gè)令人費(fèi)解的問題[J].大學(xué)物理,1995 , 14(5):20-21</p><p>　　[13]高炳坤. 用慣性力分析二體問題[J].大學(xué)物理.2011,30(6):8,27 <