具有最小曲率變化率的幾何Hermite曲線的研究.pdf

1、構(gòu)造一條滿足給定端點條件的光順曲線是計算機輔助幾何設(shè)計(CAGD)中的一個基本問題。在構(gòu)造這樣一條曲線時經(jīng)常會用到Hermite插值，構(gòu)造出的三次多項式曲線就稱為Hermite曲線。這種曲線可廣泛地應用到幾何造型中的形狀設(shè)計和曲線/曲面光順上，如在光順NURBS曲面的不規(guī)則區(qū)域時，常用這種傳統(tǒng)的Hermite曲線來代替這些區(qū)域上高光線的不規(guī)則部分并相應的調(diào)整曲面，使新曲面以修改后的高光線作為它的新的高光線，從而達到曲面光順的目的。

2、 Hermite曲線在所有滿足同樣端點條件的C<'1>連續(xù)的三次多項式樣條曲線中具有最小的應變能。因此，光順一條具有端點(位置和切矢)約束的C<'1>連續(xù)的三次樣條曲線時，最終會得到一條三次Hermite曲線。然而，此時的Hermite曲線的形狀并不一定理想，可能存在著二重點、尖點或者折點，即不是幾何光順的。這就需要提供額外的自由度來滿足幾何光順的要求。顯然，調(diào)整給定切矢的模長可以做到這一點，這類曲線就是幾何Hermite曲線。本文

3、就是來討論如何構(gòu)造一條G<'1>連續(xù)的具有理想形狀的幾何。Hermite曲線。一條具有理想形狀的曲線顯然不能包含二重點、尖點或者折點等這些不期望出現(xiàn)的特征點。 本文以曲率變化率最小作為光順標準，采用曲線的三階導平方的積分作為曲率變化率的近似表達式，即目標函數(shù)。給出了在該光順標準下最優(yōu)幾何Hermite(OGH)曲線的擴展定義，這類曲線通過在Hermite插值過程中最優(yōu)化端點的切矢模長來使曲線的曲率變化率最小，并提出了得到這樣一條

4、曲線的具體公式。本文討論了使OGH曲線達到幾何光順的切矢角約束條件(關(guān)于給定切矢角的切矢方向保持條件和幾何光順條件)。如果給定的切矢不滿足切矢角約束條件，可以用2一分段或3一分段的組合最優(yōu)幾何Hermite(COH)曲線來滿足光順要求，并提出了構(gòu)造2一分段COH曲線的兩種方法和構(gòu)造3一分段COH曲線的四種方法。這些方法能夠保證每一段OGH曲線段對切矢角約束條件的自動滿足，從而使得每一段曲線段都能具有最小的曲率變化率且沒有二重點、尖點和折

5、點，繼而滿足整條COH曲線的光順性要求。這些OGH曲線和COH曲線，加上基于對稱的擴展模式，可覆蓋切矢角的所有可能情況。此外，將這些方法構(gòu)造的COH曲線與 Yong和Cheng的基于應變能最小(采用曲線的二階導平方的積分作為應變能的近似表達式，即目標函數(shù))的COH曲線進行了比較，并給出了當切矢角在不同的應用域時，何種目標函數(shù)下構(gòu)造的COH曲線的形狀比較理想的結(jié)論。實驗表明，將兩種目標函數(shù)下的方法相結(jié)合，可以達到很好的效果。 上

6、述基于兩種不同目標函數(shù)的COH曲線的比較中，存在著一個切矢角區(qū)域，在這個區(qū)域中，無論用哪種目標函數(shù)構(gòu)造的COH曲線形狀都不太理想。因此，又在原有方法的基礎(chǔ)上，提出了一種新的構(gòu)造COH曲線的方法。該方法將給定的切矢角錯切變換到已有的構(gòu)造方法所對應的切矢角區(qū)域上，即統(tǒng)一到可以構(gòu)造出理想形狀的情況中，在該區(qū)域上利用上述已有的方法構(gòu)造出相應的COH曲線，再將該曲線作逆向變換得到所要求的滿足給定端點條件的曲線。實驗證明，這種方法與原有的基于兩種不