傾斜模與完全切片.pdf

1、內(nèi) 容 摘 要有限維代數(shù) 表示理論是 本世紀(jì)七十年代初興 起的 代數(shù)學(xué)的一個(gè)新的分支。傾斜理論起源于B o r n s t e i n , G e l f a n d 和P o n o m a r e v 為T(mén)證明著名的G a b r i e l 定理所引進(jìn)的反射函子與C o x e t e r 函 子，C o x e t e r 函子就是在 箭圖中的傾斜過(guò)程。 1 9 7 6年，B r e n n e r - B u t l e r

2、證明了: 在路代數(shù)的表示范疇中C o x e t e r 函子與A u s l a n d e r -R e i t e n 變換是一致的。 A u s l a n d e r - P l a t z e c k - R e i t e n f 進(jìn)一步證明了C o x e t e r 變換可由與A R 一 變換密切 相關(guān)的A P R 傾斜變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。 顯然B G P 的反射函子是A P R -傾斜變換的特例。B r e n n e r

3、- B u t l e r 又從 A P R 一 傾斜變換中抽象出初步的 傾斜理論。8 。 年代初， 這種 傾 斜理 論的 思想 被H a p p e l , R i n g e l 和B o n g a r : 進(jìn)一步 推廣 ，給出 公理化定義， 奠基了 經(jīng)典的傾斜理論。 從此， 傾斜理論成為代數(shù)表示論普遍應(yīng)用的最重要的技巧之一， 也是最主要研究對(duì)象之一。 現(xiàn)在， 由于傾斜理論與量子群，李代數(shù)等其它代數(shù)學(xué)科的本質(zhì)聯(lián)系，傾斜理論成為國(guó)際

4、研究熱點(diǎn)之 一。1 9 9 8 年，I . R e i t e 。 在 柏 林國(guó) 際數(shù) 學(xué) 大 會(huì)上 作4 5 分鐘的 報(bào)告 《 傾 斜理 論 與 擬 傾 斜 代 數(shù) 》 。 本 文 證 明 下 面 主 定 理: 設(shè)A 是D y n k i n 圖 的 路 代 數(shù) ， T = 舀 T ;玄 =1 是傾斜A - 模， 且T ‘ 在不同 的二 一 軌道上， 則T 是一個(gè)完全切片模。 這就給出 可分 傾 斜 模 的 一 個(gè) 充 要 條 件 。

5、 我 們 用 組 合 分 析 的 辦 法 證 明 主 定 理。 交 換 圖Z A 婦偏序關(guān)系，切線，H a mm o c k 函數(shù)的其本性質(zhì)等被討論并用于主定理的證昨。 卜關(guān)鍵詞 傾斜 模; 路 代數(shù); 切片 模。再回 顧一 下 箭圖 的 表 示范 疇的 定 義△= ( △ 。 ， △ ， ) 是一 個(gè) 箭圖 ， 其中△ 。 是點(diǎn) 集，△ ， 是箭集。 若。 : i -j 是 △ ， 的 箭， 定義a 的 起點(diǎn)i = s ( a )

6、E △ 。 ， 。 的 終 點(diǎn)j = e ( a ) ‘ △ 。 。定義1 一個(gè)向 量空間集{ V ( i ) l i E D o } 與域k 上線 性映射集f : V ( i ) 一 V ( j )V a : i -j E △ ， 稱(chēng) 作 箭圖 在 域k 上 的 一 個(gè)表 示， 記為( V , f ) 。 箭圖△ 在 域k 上 的 兩個(gè) 子表 示 之間 的 態(tài) 射h : ( V , f ) 一 ( V ' , f )

7、即 為線 性映 射 集{ h i : V ( i ) - V ' ( i ) ) s e 。 且滿足下面圖表可交換V ( i ) 一 一 h ' - V ' ( i ) I f 1 f ' .V O )— V I ( j )如 果h : ( V f ) -( V ' , f ) 和g : ( V ' , f ) - ' ( V “ , f ' ) 是 表 示 間 的

8、兩 個(gè) 態(tài) 射 ， 則 定 義 兩個(gè) 態(tài) 射的 合成是線性映 射集 { g i h i : V ( i ) 一 V “ ( i ) ) ， 這樣我們 就得到箭圖△ 在域k 上的表示范疇， 記作R e P A。設(shè)△ 是一 個(gè)箭圖 ，( V , f ) , ( V ' , f ) E R e p △ ， 定義兩個(gè)表示的 直和為( W , g ) 其中W ( i 卜V ( i ) .V ' ( i ) , g a = f

9、 . r , ( i c △ 。 ， 。 〔 A l ) 。 若一個(gè)非零表示( V , f ) 不能 記為兩個(gè)非零表示的直和則稱(chēng)其為不可分解表示。設(shè) △是箭圖，我們定義△的路代數(shù)k 0。k △以△的所有路作為基構(gòu)成的向量空間， 路P i , P 2 的乘法定義為:P l P 2 , 0 , ( P i ) = s ( P 2 ) ( P i ) 0 S ( P 2 )了 ， . ， 、1‘一 -，P‘勺lP每個(gè) 不帶有向 循環(huán)

10、的有 限 箭圖△ 確定一 個(gè)C a r t a n 矩陣C , C 的階n 釗 △ 。 } 。矩 陣 主 對(duì) 角 線 上 的 元 素。 i i = 2 , V a : i -j E O l , c i j = c h i = 連 接i 和J 的 箭的 個(gè) 數(shù)的 相反 數(shù)。 若從i 到J 且 從J 到i 無(wú) 箭，則c d s = c j . = o 。顯然，C a r t a n 矩陣 是對(duì)稱(chēng)的。 它確定; n o d k △了 與G