幾類非線性矩陣方程的理論與方法.pdf

1、非線性矩陣方程是數(shù)值代數(shù)領(lǐng)域和非線性分析領(lǐng)域中研究和探討的重要課題之一．它在控制理論，運輸理論，動態(tài)規(guī)劃，梯形網(wǎng)絡(luò)，統(tǒng)計過濾和統(tǒng)計學(xué)等科學(xué)和工程計算領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用．本篇博士論文系統(tǒng)地研究了如下幾類非線性矩陣方程的理論與數(shù)值方法． 基于不動點定理和Banach空間的序列原理，系統(tǒng)地研究了矩陣方程 X+A*X—qA=Q的Hermitian正定解，其中A為n×n階非奇異復(fù)矩陣，Q為n×n階正定矩陣，q≥1．給出了該矩陣

2、方程存在正定解的一些新的充分條件和必要條件，構(gòu)造了求解的數(shù)值方法．還對該矩陣方程進(jìn)行了擾動分析，得到了新的正定解的擾動界． 基于Brouwer不動點定理和Banach不動點定理，系統(tǒng)地研究了矩陣方程 X8+A*X—tA=Q的Hermitian正定解的存在性。其中A為n×n階非奇異復(fù)矩陣，Q為n×n階正定矩陣，且s，t是正整數(shù)．給出了該矩陣方程存在正定解的一些新的充分條件，必要條件及充要條件．并對該矩陣方程進(jìn)行了擾動分析

3、，得到了新的正定解的擾動界．?dāng)?shù)值例子說明了所得結(jié)論的正確性． 基于單調(diào)算子的動力學(xué)性質(zhì)，研究了矩陣方程的Hermitian正定解，其中A1，A2，．．．，Am是n×n階復(fù)矩陣， Q為n×n階正定矩陣，m是正整數(shù)．給出了該矩陣方程的Hermitian正定解的存在性定理及數(shù)值求解方法，并對其進(jìn)行擾動分析，得到了新的正定解的擾動界． 基于正規(guī)錐上單調(diào)和混合單調(diào)算子的不動點定理，研究矩陣方程的Hermitian正定解，其中A1，

4、A2，．．．，Am是n×n階復(fù)矩陣， Q為n×n階正定矩陣，0＜|δi|＜1，i=1，2，．．．，m．首次證明了該矩陣方程總是存在唯一正定解．首次提出了求解該矩陣方程的多步定常迭代方法，利用正規(guī)錐上序列的性質(zhì)得到了相應(yīng)的收斂性定理，并用數(shù)值例子驗證了此方法的可行性．基于攝動引理和Ostrowski定理，研究矩陣方程X2—A=0的非奇異解，即研究矩陣A的非奇異平方根．當(dāng)矩陣A非奇異時，對其等價方程構(gòu)造Newton迭代法，并結(jié)合Samans