樹(shù)的鉤長(zhǎng)公式及其q擴(kuò)展.pdf

1、鉤長(zhǎng)是組合結(jié)構(gòu)中最重要的指標(biāo)之一，鉤長(zhǎng)公式在代數(shù)組合學(xué)中占據(jù)著重要的地位．眾所周知，對(duì)稱群不可約表示λ對(duì)應(yīng)的維數(shù)正好就是形狀為λ的標(biāo)準(zhǔn)楊表的個(gè)數(shù).早在1954年，F(xiàn)rame，Robinson和Thrall用楊表鉤長(zhǎng)乘積計(jì)數(shù)了標(biāo)準(zhǔn)楊表的個(gè)數(shù)，即著名的鉤長(zhǎng)公式．Frame-Robinson-Thrall鉤長(zhǎng)公式已經(jīng)用代數(shù)，組合，概率等方法得到很多經(jīng)典證明，此外，Knuth給出了類似的鉤長(zhǎng)公式用以計(jì)數(shù)給定結(jié)構(gòu)的遞增二叉樹(shù)的個(gè)數(shù)，Bjorner

2、和Wachs推導(dǎo)出森林鉤長(zhǎng)公式的q模擬形式，鉤長(zhǎng)公式整齊的形式和深刻的組合意義，使得鉤長(zhǎng)公式在組合學(xué)各個(gè)領(lǐng)域得到了深入的研究。
　　 最近，Postnikov在研究置換多面體組合性質(zhì)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)了一個(gè)具有新穎形式的二叉樹(shù)鉤長(zhǎng)公式．學(xué)者們已經(jīng)得到了Postnikov鉤長(zhǎng)公式的各種證明方法和眾多推廣形式．對(duì)文獻(xiàn)中各種鉤長(zhǎng)公式仔細(xì)研究之后，韓國(guó)牛發(fā)現(xiàn)了一種獲得鉤長(zhǎng)公式的展開(kāi)技術(shù)．通過(guò)這個(gè)方法，可以重新推導(dǎo)出Nekrasov-Okounk

3、ov公式，該公式是歐拉乘積冪對(duì)于分拆鉤長(zhǎng)的展開(kāi)形式．歐拉乘積冪研究的核心就是探索不同冪的展開(kāi)形式，應(yīng)用展開(kāi)技術(shù)還可以得到很多關(guān)于分拆，二叉樹(shù)，完全二叉樹(shù)以及斐波那契樹(shù)的各種鉤長(zhǎng)公式，包括文獻(xiàn)中很多鉤長(zhǎng)公式的統(tǒng)一形式．韓國(guó)牛提出了很多簡(jiǎn)潔漂亮的鉤長(zhǎng)公式，并要求給出其組合證明．此外韓國(guó)牛提出的有關(guān)鉤長(zhǎng)公式的猜想也引起了很多研究者的興趣。
　　 本文重點(diǎn)研究各種類型樹(shù)上的鉤長(zhǎng)公式以及若干q擴(kuò)展．本文主要推廣了韓國(guó)牛的展開(kāi)技術(shù)，在k叉樹(shù)

4、，平面樹(shù)和平面森林，有根樹(shù)和森林的結(jié)構(gòu)上得到了很多鉤長(zhǎng)公式．作為一些特例，我們也得到了很多文獻(xiàn)中已經(jīng)出現(xiàn)過(guò)的鉤長(zhǎng)公式．本文還得到了一些簡(jiǎn)單漂亮的鉤長(zhǎng)公式，Thomas和Eriksen分別給出了一些組合解釋，本文引入了k叉樹(shù)的一種梯形標(biāo)號(hào)結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)可以準(zhǔn)確刻畫韓國(guó)牛提出的二叉樹(shù)上的兩個(gè)鉤長(zhǎng)公式，并給出組合證明，解決了他提出的兩個(gè)問(wèn)題，此外本文還重點(diǎn)研究了符號(hào)森林鉤長(zhǎng)公式的q擴(kuò)展問(wèn)題，我們通過(guò)研究符號(hào)森林的逆序數(shù)，flag major和r