金融衍生產(chǎn)品中美式與亞式期權(quán)定價的數(shù)值方法研究.pdf

1、論文組織和具體安排如下： 本文第1章主要介紹了金融衍生產(chǎn)品的歷史與現(xiàn)狀，及金融衍生產(chǎn)品定價的由來，隨后從BSDE的角度給出了金融衍生產(chǎn)品定價的數(shù)學模型． 本文第2章介紹了倒向隨機微分方程(BSDE)與一類擬線性二階偏微分方程(PDE)存在的對應(yīng)關(guān)系，這就是[Peng(1991)]中獲得的非線性Feynman-Kac公式．于是BSDE中可問題可以轉(zhuǎn)化到相對比較成熟的PDE中，使用PDE數(shù)值方法方法來解BSDE．同時可以反過

2、來使用BSDE的隨機算法來解決PDE中的問題． 本文第3章則簡單回顧了一下已有的金融衍生產(chǎn)品的定價方法，如二叉樹方法，Monte Carlo隨機模擬方法以及有限差分方法、特征方法等PDE中的各種數(shù)值方法． 本文第4章主要研究了美式期權(quán)定價問題的有限體積數(shù)值模擬方法．對隨機波動率下美式期權(quán)定價問題，我們用新的方法近似二階混合交叉導數(shù)項，用迎風技術(shù)近似一階對流項[Liang ＆ Zhao(1997)]，提出一類新的有限體積九

3、點格式．(0.1.2)其中算子A<,x>、A<,y>、A<,xy>和A<,yx>分別由自四個不同方向(X-方向，Xy-方向，yX-方向以及y-方向)的差分方程的系數(shù)構(gòu)成： 定理0.1.1(極值原理)假定V<'k><,ij>為G<,h>上的一網(wǎng)函數(shù)，滿足以下不等式：(0.1.7) L<,h>V<'k><,ij>≤0，其中L<,h>中的A<,i，j>滿足假設(shè)(4.3.1)，則V<;k><,ij>不可能在內(nèi)點取正的極大，除非V<'k>

4、<,uj>為常數(shù)。 為說明所提格式的有效性，我們給出幾個數(shù)值算例。通過與投影超松弛(PSOR)方法[Ikonen＆Toivanen(2005)]計算出的結(jié)果進行比較，我們發(fā)現(xiàn)，結(jié)果與其吻合。更加復雜的一般的多因素期權(quán)定價問題將在以后討論． 本文第5章主要研究算術(shù)平均亞式期權(quán)定價問題的交替方向迎風有限體積方法。對算術(shù)平均亞式期權(quán)定價問題并在此基礎(chǔ)上對價格漂移占優(yōu)問題，采用加權(quán)迎風技術(shù)以避免數(shù)值解的非物理震蕩；同時結(jié)合亞式期

5、權(quán)定價問題特性，我們提出相應(yīng)的交替方向。最終得到了一類新的交替方向加權(quán)迎風有限體積(ADFV)格式： (0．1．11)中的邊值和V<'n><,ij>的初邊值條件為： 我們從理論上嚴格證明了提出的格式滿足極大值原理，也得到了一致誤差估計：定理0．1．4(極值原理)假定V<'n><,ij>滿足以下條件： 如果V<'n><,ij>在上不是常數(shù)，則V<'n><,ij>的正最大值只能在a 上達到． 定理0．1．5(

6、穩(wěn)定性估計)因定價問題中f=0，我們有以下穩(wěn)定性估計： 定理0．1．6(誤差估計)若u ∈<'∞><(O，T；L<'4,∞>(Ω))nw<'1><,∞>(O，T；w<,∞>(Ω))nW<'2><,∞>(O，T；L<,∞>(Ω))，在條件(5.3．3)及定理1的條件下，我們有誤差估計：需要指出的是這一類加權(quán)迎風有限體積格式和相應(yīng)的交替方向格式對于高維問題同樣適用。 本文第6章主要研究提出了高維偏微分方程的迎風有限體積數(shù)值格

7、式，該格式同樣具有極大值原理和一致誤差估計。 在BSDE模型中我們討論的問題都是高維問題，而金融市場中變動因素的復雜性也決定了在實際金融定價問題中我們面對的都是高維問題。以下我們考慮如下二階拋物型偏微分方程的數(shù)值解，基于第6.4節(jié)中的分析，我們得到了(0.1.16)的中心有限體積格式(6.5.8)、迎風有限體積格式Ⅰ(6.5.9)和全離散迎風有限體積格式Ⅱ(6.5.10)。需要特別指出的是通常的中心有限體積格式(6.5.8)和迎

8、風有限體積格式Ⅰ(6.5.9)是不滿足極值原理的，而對本文提出的全離散迎風有限體積格式Ⅱ(6.5.10)，我們有如下定理： 定理0.1.9(誤差估計)在定理1的條件下，離散格式(6.5.8)具有誤差估計：‖E<'k>‖≤K sup ‖R<'k>‖≤C(h+△t)，其中E<'k>為分量為e<'k><,ij>的向量。C為是不依賴于解u，V，剖分h和△t的一個常數(shù)。注0.1.1對格式(6.5.10)同樣可以提出相應(yīng)的分裂格式，可證明其