三分謝爾賓斯基墊片上的調(diào)和分析.pdf

1、三分謝爾賓斯基墊片是一個典型的分形集,具有分形的一切特性.良好的對稱性使得它具有類似謝爾賓斯基墊片的許多分析性質(zhì)。本文利用文獻中的理論,整體上采用由簡單到復(fù)雜的方法,得到了三分謝爾賓斯基摯片的分形結(jié)構(gòu)上的一些性質(zhì).調(diào)和擴張是最小擴張,拉普拉斯算子是一個重要的數(shù)學(xué)概念,拉普拉斯算子作用在調(diào)和函數(shù)上值為零,法向?qū)?shù)是邊界點上的、比拉普拉斯算子“低級”的導(dǎo)數(shù)等,這些性質(zhì)是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中光滑曲線的重要性質(zhì).而三分謝爾賓斯基墊片是不光滑的,在它上面研

2、究這些性質(zhì)是由光滑曲線向不光滑曲線的轉(zhuǎn)化.因此,研究三分謝爾賓斯基墊片上的這些分析性質(zhì)具有重大意義。
　　 本文首先定義了一個迭代函數(shù)系,它是由六個壓縮比都為三分之一且相似的映射組成,由它迭代一個等邊三角形可以得到三分謝爾賓斯基墊片,它滿足自相似集的定義。因此,三分謝爾賓斯基墊片是一個自相似集。由此自相似集、迭代函數(shù)系及此迭代函數(shù)系中函數(shù)的個數(shù)組成了三分謝爾賓斯基墊片的自相似結(jié)構(gòu),它是一個后置臨界有限(p.c.f.)自相似結(jié)構(gòu)。

3、其次,在三分謝爾賓斯基墊片的自相似結(jié)構(gòu)上,作者定義了圖能,利用調(diào)和擴張得到了三分謝爾賓斯基墊片的重整化因子、調(diào)和函數(shù)以及六個可逆的調(diào)和矩陣.然后,利用圖能的性質(zhì)得到了三分謝爾賓斯基墊片每一層上的離散拉普拉斯算子序列。利用弱公式化的概念,推導(dǎo)出了自相似集上標準拉普拉斯算子的逐點公式.又給出了法向?qū)?shù)的定義,并且推導(dǎo)出了三分謝爾賓斯基墊片上的法向?qū)?shù).最后,調(diào)和函數(shù)是拉普拉斯方程在所有非邊界點的解,雙調(diào)和函數(shù)是泊松方程在所有非邊界點的解.在