幾類生物動力系統(tǒng)的定性分析及分岔研究.pdf

1、定性理論在常微分方程的研究中是十分重要的。它是由常微分方程來直接研究和判斷解的性質(zhì)的理論，其思想已經(jīng)逐漸滲透到其它數(shù)學(xué)分支。對維數(shù)較低的系統(tǒng)特別是二維平面系統(tǒng)，定性理論的研究已取得豐富的結(jié)果。其中，一個(gè)基本內(nèi)容是研究系統(tǒng)的所有極限集(或不變集)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或者定性結(jié)構(gòu)，它們包括：(1)奇點(diǎn)，(2)周期解(閉軌線)，或者(3)奇點(diǎn)與t→+∞，t→-∞時(shí)趨于這些奇點(diǎn)的軌道(如，同宿軌和異宿軌)。當(dāng)這些極限集形式被討論清楚之后，系統(tǒng)的基本的定性

2、結(jié)構(gòu)就可以確定了。然而，當(dāng)系統(tǒng)具有某些退化性時(shí)，要簡單的討論它們?nèi)魏我活惗际遣粔虺浞值摹Ｋ?，隨著系統(tǒng)參數(shù)的連續(xù)變化，系統(tǒng)發(fā)生的分岔現(xiàn)象也是我們關(guān)心的主要內(nèi)容之一，它是指對含參數(shù)的微分系統(tǒng)當(dāng)參數(shù)變動并經(jīng)過某些臨界值時(shí)系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會發(fā)生突然變化的現(xiàn)象。弄清了系統(tǒng)的分岔甚至給出了它的普適開折，該系統(tǒng)所發(fā)生的所有物理現(xiàn)象都將昭然若示。在分岔問題中，比較困難的情況是余維大于或等于2的分岔和非局部分岔。 用數(shù)學(xué)模型描述生態(tài)學(xué)、醫(yī)學(xué)、人口學(xué)

3、中的某些系統(tǒng)已有悠久的歷史，而常微分方程是用來描述這些系統(tǒng)動力學(xué)行為的主要手段．如何根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或統(tǒng)計(jì)資料建立反映實(shí)際系統(tǒng)動力學(xué)行為的數(shù)學(xué)模型，以及如何改進(jìn)或推廣已有經(jīng)典數(shù)學(xué)模型而使其動力學(xué)行為更適合實(shí)際或更符合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)等都是令人關(guān)注的問題。這些模型幾乎涉及到微分方程研究的各個(gè)分支。對應(yīng)于定性理論的研究，人們普遍關(guān)心的正是上述各類模型局部和全局解的存在性，奇點(diǎn)和周期餌的存在性、穩(wěn)定性和不存在性，全局漸近行為，以及分岔、混沌等動力學(xué)性質(zhì)。

4、 在第二章，我們首先一般地介紹了向量場、退化奇點(diǎn)及其鄰域內(nèi)發(fā)生的分岔等相關(guān)內(nèi)容。為了分析系統(tǒng)的全局動力學(xué)性質(zhì)，相對于所有有限遠(yuǎn)處的定性討論，無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)的分析在系統(tǒng)定性理論分析中也占有重要的地位。它們反映的是系統(tǒng)變量在大范圍內(nèi)的增長趨勢。所以，關(guān)于無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)的一些分析和判斷方法也在第二章中給出。 在第三章，我們考慮一類廣義Brusselator系統(tǒng)的周期解及無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)問題，該系統(tǒng)是描繪一個(gè)多分子反應(yīng)過程的p+q次多項(xiàng)式微分

5、系統(tǒng)。它在許多特殊參數(shù)條件下的定性結(jié)果已經(jīng)非常豐富了。然而對于最一般的情況，即p，q都是不確定的正整數(shù)時(shí)，其定性性質(zhì)的討論還有待深入。在前人關(guān)于該系統(tǒng)的定性分析的基礎(chǔ)上，我們完善了對該系統(tǒng)唯一奇點(diǎn)的討論并證明該奇點(diǎn)為細(xì)焦點(diǎn)時(shí)的最高重?cái)?shù)為1，進(jìn)而更正了前人的Hopf分岔結(jié)果。此外，應(yīng)用Poincaré-Bendixson定理和Bendixson—Dulac判據(jù)，我們還討論了系統(tǒng)周期解的存在性和不存在性。進(jìn)一步地，為了分析Brusselat

6、or系統(tǒng)的全局動力學(xué)性質(zhì)，我們還對該系統(tǒng)的無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)進(jìn)行了討論。在某些情形，我們發(fā)現(xiàn)；當(dāng)無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)具有較高退化性時(shí)，常用的blowing—up(應(yīng)用Briot—Bouquet變換將一個(gè)復(fù)雜奇點(diǎn)打散成幾個(gè)簡單奇點(diǎn))方法、Z-扇區(qū)方法和正常區(qū)域的辦法都不方便甚至不能使用。通過利用文獻(xiàn)[Nonlinearity 17(2004)，1407—1426]中提出的廣義正常區(qū)域方法(簡稱為GNS方法)，我們的困難得以克服，其中允許曲線或者系統(tǒng)軌道為廣

7、義正常區(qū)域的邊界，而且該區(qū)域也不一定是要研究的特殊方向的角形鄰域．最終，我們得到了系統(tǒng)無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)處的所有特殊方向以及沿這些特殊方向進(jìn)出奇點(diǎn)的軌道的情況。文獻(xiàn)[J．Diff．Equ．188(2003)，135-163]研究了一類具有非線性發(fā)生率的約化SIRS模型的Hopf分岔、Bogdanov-Takens分岔和周期解的存在唯一性問題。由于某些計(jì)算上的困難，作者并沒有證明該系統(tǒng)中細(xì)焦點(diǎn)的重?cái)?shù)大于1的可能性，所給出的周期解唯一性條件和兩個(gè)周

8、期解共存的條件也是由實(shí)際參數(shù)難以驗(yàn)證的。 在第四章，我們首先克服在高階Liapunov量計(jì)算時(shí)導(dǎo)致的技巧性困難而證得細(xì)焦點(diǎn)B+的最高重?cái)?shù)為2，因此一個(gè)退化的Hopf分岔在一定的參數(shù)條件下發(fā)生。此外，我們化系統(tǒng)為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Liénard方程形式，利用關(guān)于Liénard方程的已有的結(jié)果得到一組由系統(tǒng)原始參數(shù)組成的更易判斷的周期解唯一性條件。進(jìn)一步地，我們考慮約化SIRS模型的退化的Bogdanov-Takens分岔。這是一個(gè)余維為3

9、的尖點(diǎn)所產(chǎn)生的分岔。由于文獻(xiàn)[J．Diff．Equ．188(2003)，135-163]只討論了該系統(tǒng)的非退化的Bogdanov-Takens分岔，所以系統(tǒng)的周期解不能被完全分析到。進(jìn)而，兩個(gè)周期解共存以及一個(gè)周期解和一個(gè)同宿環(huán)共存的分岔值無法得到。這里，我們化該系統(tǒng)為余維為3的Bogdanov-Takens分岔的普適開折形式，對其周期解和同宿環(huán)的分岔進(jìn)行討論，進(jìn)而獲得了以上條件。 在第五章，我們繼續(xù)考慮一類酶催化反應(yīng)系統(tǒng)．由于

10、該系統(tǒng)的奇點(diǎn)由一個(gè)三次多項(xiàng)式?jīng)Q定，而且該多項(xiàng)式的系數(shù)與系統(tǒng)參數(shù)s<,0>，a<,0>，a，k，p具有復(fù)雜的對應(yīng)關(guān)系，所以在許多情況下奇點(diǎn)的坐標(biāo)甚至奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)都難以確定。因此，所有關(guān)于此系統(tǒng)的定性性質(zhì)和分岔分析(包括Bogdanov-Takens分岔)方面的已有結(jié)果都是在一個(gè)人為的參數(shù)s<'*>的基礎(chǔ)上給出的，其中s<'*>代表系統(tǒng)一般奇點(diǎn)E的s坐標(biāo)。這里，我們放棄計(jì)算奇點(diǎn)處特征值的常規(guī)做法，轉(zhuǎn)而根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性和一些不等式技巧給

11、出了系統(tǒng)奇點(diǎn)關(guān)于原始參數(shù)的完整分析。此外，為了考察當(dāng)酶和催化劑濃度大量增加時(shí)的全局變化趨勢我們也利用廣義正常區(qū)域的方法討論了系統(tǒng)的無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)。在系統(tǒng)的Bogdanov-Takens分岔分析中，由于都沒有化簡對應(yīng)的擾動Bogdanov—Takens系統(tǒng)為一普適開折形式，已有的結(jié)果只是利用數(shù)值模擬的方法進(jìn)行討論而不能對其進(jìn)行更為透徹的分析，比如分析周期軌道和同宿軌道共存的參數(shù)條件。所以，為了展示系統(tǒng)Bogdanov-Takens分岔中的所有