時域有限元法及其截斷邊界條件的研究.pdf

1、當(dāng)前，有限元法（Finite Element Method，簡稱為FEM）已成為求解電磁場問題的有效的頻域數(shù)值方法之一。時域有限元法（Finite Element Methodin Time Domain，簡稱TDFEM）能夠直接在時域內(nèi)求解電磁場問題。時域有限元法的研究始于20世紀(jì)80年代，并在隨后的十幾年中得到了快速的發(fā)展。 本文研究基于求解時域二階矢量波動方程的時域有限元法。文中首先闡述有限元法及時域有限元法的一般原理，然

2、后結(jié)合系統(tǒng)的本征頻率、頻率采樣條件以及時諧場對時間離散間隔的穩(wěn)定性要求等，從一種新的途徑導(dǎo)出時域有限元法的時間離散穩(wěn)定性條件。 時域有限元法的主要缺點是在每個時間步內(nèi)都必需求解矩陣方程，因而系統(tǒng)的計算效率較低。為了提高系統(tǒng)的計算效率，可以進行兩方面努力：一方面是減小系統(tǒng)矩陣的規(guī)?；蚋淖兤湫问剑涣硪环矫媸菍で蟾斓木仃嚽蠼馑惴?，本文討論前一種措施。系統(tǒng)矩陣的規(guī)模主要取決于計算區(qū)域的大小和網(wǎng)格的粗細。為了減小系統(tǒng)矩陣的規(guī)模，除了使用

3、高質(zhì)量的網(wǎng)格剖分工具外，還可使用高效的截斷邊界條件。 MEI（Measured Equation of Invariance，簡稱為MEI）方法最初作為吸收邊界條件用于有限差分法。很快人們提出了時域MEI方法（Measured Equation of Invariance in Time Domain，簡稱TD-MEI），并成功地應(yīng)用于FDTD，能夠以較小的計算區(qū)域取得精確的解。本文將TD-MEI方法應(yīng)用于時域有限元法，結(jié)合基

4、函數(shù)的性質(zhì)，從一階吸收邊界條件（Absorbing Boundary Condition，簡稱ABC）反推出MEI測試方程，并據(jù)此構(gòu)建時域測度不變方程吸收邊界條件，或稱為MEI-ABC。分析發(fā)現(xiàn)MEI-ABC能夠保持系統(tǒng)矩陣的稀疏性。 對于標(biāo)量電磁問題的計算，MEI-ABC能夠有效地減小計算區(qū)域。與一階吸收邊界條件相比，MEI-ABC在精度上具有明顯的優(yōu)勢。數(shù)值算例證明，在相同的精度要求下，MEI-ABC的未知量更少。

5、但是，對于矢量電磁問題的計算，MEI-ABC相對一階吸收邊界條件的優(yōu)勢有限，而且穩(wěn)定性差。為此，本文基于MEI不變性，對MEI-ABC作了改進，構(gòu)建一種時域阻抗邊界條件（Surface Impedance Boundary Condition intime domain，簡稱TDSIBC），使精度有了很大的提高，但是計算代價也相應(yīng)增加。 相比MEI—ABC的快速優(yōu)勢，完全匹配層（Perfectly Matched Layer，簡

6、稱PML）邊界條件的計算速度較慢，但是精度更高。本文研究共形完全匹配層（Conformal Perfectly Matched Layer，簡稱CPML）技術(shù)，并應(yīng)用于時域有限元法，取得了良好的結(jié)果。 CPML可理解為廣義PML，分析發(fā)現(xiàn)CPML的形狀和介質(zhì)參數(shù)與包圍散射體的最小凸曲面有關(guān)。數(shù)值算例證明，與常規(guī)PML相比，使用CPML時，PML區(qū)域及整個計算區(qū)域更小，因而未知量減少，同時簡化了每個時間步內(nèi)的計算步驟，因而節(jié)省計