論非線性發(fā)展方程求解中輔助方程法的歷史演進(jìn).pdf

1、1834年8月，英國科學(xué)家羅素發(fā)現(xiàn)了孤立波自然現(xiàn)象。1895年，荷蘭阿姆斯特丹大學(xué)的數(shù)學(xué)家德弗里斯(G.de Vries)在導(dǎo)師柯特維格(D.J.Korteweg)的指導(dǎo)下，研究單方向運(yùn)動(dòng)的淺水波時(shí)，建立了描述羅素孤立波現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型KdV方程，從理論上肯定了孤立波解的存在性。1955年，美國物理學(xué)家費(fèi)米(Enrico Fermi)，帕斯塔(John Pasta)和猶拉姆(Stan Ulam)提出的著名的FPU問題，對(duì)于發(fā)現(xiàn)孤立子提供了

2、第一個(gè)實(shí)驗(yàn)依據(jù)．1965年，美圍Princeton大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)家扎布斯基(N.J.Zabusky)和實(shí)驗(yàn)室的克魯斯卡爾(M.D．Kruskal)發(fā)現(xiàn)了FPU問題中弦的位移滿足KdV方程，而且他們通過計(jì)算機(jī)模擬重現(xiàn)了孤立波相互作用時(shí)表現(xiàn)出類此于粒子的性質(zhì)，并由此提出“孤立子”的概念。孤立子概念的提出證明了孤立波解的穩(wěn)定性。最近50多年來，人們利用計(jì)算機(jī)技術(shù)，在非線性光學(xué)中發(fā)現(xiàn)光孤子并應(yīng)用于通信領(lǐng)域取得了成功。生物學(xué)中發(fā)現(xiàn)了達(dá)維多夫(Dav

3、ydov)孤立子，海洋學(xué)中發(fā)現(xiàn)了內(nèi)孤立波．另外，在凝聚態(tài)物理、激光物理、超導(dǎo)物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口問題和醫(yī)學(xué)等諸多科學(xué)領(lǐng)域中相繼發(fā)現(xiàn)了光滑孤立子解、尖峰孤立子解和緊孤立子解等多種孤立子。孤立子理論的研究?jī)?nèi)容大斂分為以下兩類：⑴構(gòu)造系統(tǒng)的求解方法：即構(gòu)造和發(fā)展求解非線性方程的種系統(tǒng)的方法．這里指的非線性方程包括非線性偏微分方程，非線性常微分方程，非線性積分微分方程和非線性差分微分方程。對(duì)于許多非線性發(fā)展方程，已經(jīng)有了多種有效的求解方法，但是沒

4、有一種通用的方法。⑵解釋解的性質(zhì)：研究解釋可積方程的代數(shù)和幾何的一系列美妙的性質(zhì)．這里所說的可積方程是能夠轉(zhuǎn)化成線性方程的非線性方程對(duì)于研究解的性質(zhì)方面一般有如下三個(gè)情況．第一種情況：當(dāng)難以獲得顯示精確解時(shí)，分析研究非線性發(fā)展方程的適定性問題;第二種情況：利用計(jì)算數(shù)學(xué)的理論知識(shí)和計(jì)算機(jī)，對(duì)解進(jìn)行模擬分析研究；第三種情況：利用試探法和構(gòu)造變換法等數(shù)學(xué)技巧，獲得非線性發(fā)展方程的精確解。雖然以上三種研究方法的角度不同，但是目的都是解釋解的變化

5、規(guī)律。數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，以及與社會(huì)政治、經(jīng)濟(jì)和一般的文化的聯(lián)系.1974年，吳文俊開始研究中國數(shù)學(xué)史．他在“古證復(fù)原”原則下，利用“反輝格”與“中西方數(shù)學(xué)對(duì)比”相結(jié)合的綜合性方法來研究中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，揭開了中國數(shù)學(xué)的構(gòu)造性和機(jī)械化性兩個(gè)特點(diǎn)．在此基礎(chǔ)上與計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合發(fā)明了著名的“吳消元法”．吳文俊的工作成就是“古為今用”的典范.他提出的“新方法論”對(duì)于數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)研究工作來說具有指導(dǎo)性和啟發(fā)性作用。構(gòu)

6、造非線性發(fā)展方程的精確解是孤立子理論的重要研究課題之一．試探函數(shù)法與輔助方程法在構(gòu)造非線性發(fā)展方程精確解領(lǐng)域發(fā)揮了非常重要的作用，已經(jīng)獲得了許多新成果。
　　 本文從“吳消元法”的發(fā)明得到啟示，利用“新方法論”對(duì)2009年以前的輔助方程法和試探函數(shù)法有關(guān)的大量文獻(xiàn)進(jìn)行認(rèn)真比較和仔細(xì)分析研究，獲得了這兩種方法的構(gòu)造性和機(jī)械化性．在第四章中總結(jié)了試探函數(shù)法的構(gòu)造性和機(jī)械化性兩大特點(diǎn)．在此基礎(chǔ)上，提出了新的試探函數(shù)法，構(gòu)造了非線性連續(xù)

7、（離散）發(fā)展方程新的精確解。在第五章中首先通過對(duì)Riccati方程法等輔助方程法有關(guān)的大量文獻(xiàn)進(jìn)行研究，梳理了輔助方程法的思想基礎(chǔ)和來源問題，總結(jié)了輔助方程法的四個(gè)應(yīng)用步驟體現(xiàn)了該方法的構(gòu)造性和機(jī)械化性兩大特點(diǎn)．在此基礎(chǔ)上，初步發(fā)揮輔助方程法的兩大特點(diǎn)，提出了三角函數(shù)型輔助方程法與雙曲函數(shù)型輔助方程法等新的方法，構(gòu)造了非線性發(fā)展方程的新精確解：⑴把非線性發(fā)展方程轉(zhuǎn)化為非線性常微分方程的變換具有構(gòu)造性；⑵輔助方程與非線性常微分方程的形式解

8、具有構(gòu)造性；⑶非線性方程組的求解問題具有機(jī)械化性；⑷非線性發(fā)展方程解的驗(yàn)證具有機(jī)械化性。理論上說：《非線性發(fā)展方程存在無窮多個(gè)解》。但是，輔助方程法有關(guān)的諸多博士（碩士）學(xué)位論文以及相關(guān)的文獻(xiàn)只獲得了有限多個(gè)精確解．木文為了獲得非線性發(fā)展方程的無窮序列精確解，挖掘輔助方程法的兩大特點(diǎn)的含義獲得了Riccati方程、第一種橢圓輔助方程、第二種橢圓輔助方程等幾種常用輔助方程的自B(a)cklund變換、擬B(a)cklund變換和解的非線性

9、疊加公式，構(gòu)造了連續(xù)（離散）和變系數(shù)（常系數(shù)）非線性發(fā)展方程的多種類型的無窮序列新精確解。①單函數(shù)型無窮序列精確解。就是Jacobi橢圓函數(shù)、雙曲函數(shù)、三角函數(shù)和有理函數(shù)單獨(dú)構(gòu)成的無窮序列新精確解．這里包括無窮序列光滑孤立波解、無窮序列尖峰孤立波解和無窮序列緊孤立子解．木文不僅獲得了K(m，n)方程、Degasperis-Procesi方程和CH方程的無窮序列尖峰孤立波解和無窮序列緊孤立子解，而且其他的非線性發(fā)展方程中也獲得了此類精確解