Loewner型矩陣類相關(guān)問題快速算法的研究.pdf

1、隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的迅速發(fā)展，國防科技和國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)的許多領(lǐng)域不斷提出許多大型和超大型的計(jì)算問題.對于此類問題，其相應(yīng)的矩陣往往具有一些特殊的結(jié)構(gòu)，因此，利用這些矩陣的特殊結(jié)構(gòu)進(jìn)行技巧性的處理，使矩陣的計(jì)算量降低一個(gè)數(shù)量級，這一問題的研究具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義. 在工程計(jì)算問題中，有一類重要的問題就是線性方程組的求解問題，但有些線性方程組是不相容的.本文研究以Loewner型矩陣和對稱Loewner型矩陣為系數(shù)矩陣的不相容線性

2、方程組的極小范數(shù)最小二乘解的快速算法.對于m×n階矩陣A，求以A為系數(shù)陣的線性方程組Ax=b的最小二乘解的一般方法是構(gòu)造法方程組ATAx=ATb，進(jìn)而求解法方程組來實(shí)現(xiàn)的.特別地，當(dāng)A的秩為n時(shí)，Ax=b的惟一極小范數(shù)最小二乘解為x0=(ATA)-11ATb.但利用通常的方法求法方程組時(shí)，所需的運(yùn)算量為O(mn2)+O(n3)，且若矩陣A本身病態(tài)時(shí)，構(gòu)造法方程組后會(huì)更加病態(tài).求方程組Ax=b的最小二乘解也常采用正交化法，這一方法雖然避免

3、了構(gòu)造法方程組，但所需的運(yùn)算量會(huì)更大些.本文對于秩為n的m×n階Loewner型或?qū)ΨQLoewner型矩陣L，通過構(gòu)造特殊分塊矩陣并研究其逆的三角分解或自身三角分解，進(jìn)而得到了線性方程組Lx=b的極小范數(shù)最小二乘解快速算法，計(jì)算復(fù)雜度為O(mn)+O(n2)，而一般方法的計(jì)算復(fù)雜度為O(mn2)+O(n3). 在工程計(jì)算問題中，由于矩陣的廣義逆理論與計(jì)算在最優(yōu)化理論、控制理論、計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，也使得對于

4、矩陣廣義逆問題的研究顯得尤為必要.本文對于秩為n的m×n階Loewner型矩陣或?qū)ΨQLoewner型矩陣，通過構(gòu)造特殊分塊矩陣并研究其逆矩陣，進(jìn)而得到它們的Moore-Penrose逆及其快速算法，所需運(yùn)算量為O(mn)+O(n2)，而利用常規(guī)方法L+=(LTL)-1LT求解時(shí)所需的運(yùn)算量為O(mn2)+O(n3). 本文的結(jié)構(gòu)安排如下： 第一章主要以引言的形式概括了兩類方程組和廣義逆的歷史及研究現(xiàn)狀； 第二章給

5、出了所有算法的理論基礎(chǔ)； 第三章給出了Loewner型矩陣為系數(shù)矩陣的線性方程組的極小范數(shù)最小二乘解的三種快速算法及數(shù)值算例； 第四章給出了對稱Loewner型矩陣為系數(shù)矩陣的線性方程組的極小范數(shù)最小二乘解的三種快速算法及數(shù)值算例； 第五章給出了Loewner型矩陣的Moore-Penrose逆的快速算法及數(shù)值算例； 第六章給出了對稱Loewner型矩陣的Moore-Penrose逆的快速算法及數(shù)值算例；