Fourier級數(shù)的L_1收斂性.pdf

1、三角級數(shù)作為一個強有力的數(shù)學(xué)工具,在很多學(xué)科有大量的應(yīng)用.為了對三角級數(shù)(特別是Fourier級數(shù))進行有效的處理(計算等),研究其收斂性是重要的.特別地,在三角級數(shù)(Fourier級數(shù))一致收斂和平均收斂性問題中,人們一直關(guān)心三角級數(shù)(Fourier)系數(shù)的單調(diào)遞減條件的最終推廣.本文中,對于具有非負系數(shù)的Fourier級數(shù),將Korus提出的GM7條件在給出恰當?shù)钠胶庑詶l件后將其關(guān)于L1收斂的經(jīng)典結(jié)果非平凡地推廣到復(fù)空間.對于具有一

2、般系數(shù)(可變符號)的Fourier級數(shù),在給出的新的PMBV條件下,將其關(guān)于L1收斂性的經(jīng)典結(jié)果做出本質(zhì)性的推廣。對于系數(shù)滿足PMBV條件的正弦(余弦)三角級數(shù),研究了其L1可積性相關(guān)的問題。
　　 本論文可以分為五章:
　　 在第一章中,介紹了本文研究內(nèi)容的背景以及現(xiàn)在國內(nèi)外的研究狀況.本文完成的工作與已有工作的關(guān)系.此外給出了本文中將會用到的部分記號及符號等。
　　 對于具有非負系數(shù)的Fourier級數(shù),怎樣

3、將其系數(shù)所滿足的單調(diào)性條件作出適當?shù)耐貜V,并且能夠保證其關(guān)于各種收斂性問題的經(jīng)典結(jié)果成立,吸引了眾多學(xué)者的研究興趣.雖然已經(jīng)證明已有的MVBV條件從某種程度上說是本質(zhì)上最廣泛的.但是,若將滿足各種條件的序列從集合論的角度看,所謂的“邊界點”問題依然存在.作為對MVBVS的邊界點的拓廣,GM7條件是一個有意義的嘗試.將這個條件推廣到復(fù)數(shù)空間也是一項有意義的工作.尤其是通過恰當?shù)膯芜厳l件加平衡條件的形式使得推廣是非平凡的.特別地,這個推廣的

4、過程中修正了以前的類似相關(guān)工作的一個缺失,即復(fù)數(shù)空間中的結(jié)果應(yīng)同時包含正弦級數(shù)與余弦級數(shù)的情況.這也對以后的類似推廣做了一個有意義的借鑒.這是第二章的工作.
　　 對于具有一般系數(shù)(可變符號)的Fourier級數(shù),最初的關(guān)于級數(shù)收斂及平均收斂性問題的經(jīng)典結(jié)果是對提出的具有罕變系數(shù)的Fourier級數(shù)做出的.此后,很多人在更弱的條件下得出了很多結(jié)果.不久前,Zhou在他提出的PBV條件下對此課題給出了一個本質(zhì)性推廣.第三章提出了新

5、的對PBV條件的推廣,即PMBV條件,并且證明了其確實是對PBV的拓廣,并且根據(jù)MVBV條件本質(zhì)不能再推廣的特性以及PMBV條件分段定義的特點,知道所謂的“邊界點”問題也不再存在,從而說明從某種意義上講PMBV條件是單調(diào)性條件一個最終的推廣.在此條件下我們得到了關(guān)于Fourier級數(shù)L1收斂性的經(jīng)典結(jié)果.
　　 經(jīng)典分析中,人們感興趣的問題是,正弦或余弦三角級數(shù)的系數(shù)滿足何種條件時,可以保證其和函數(shù)可積.最初經(jīng)典結(jié)果是在其系數(shù)單