非線性最小二乘的不適定性及算法研究.pdf

1、非線性模型廣泛存在于測量平差、變形監(jiān)測及路面模量反算領(lǐng)域中。諸如導(dǎo)線測量中以待定點坐標(biāo)為未知參數(shù)的角度觀測方程和邊長觀測方程，它們都是待定點坐標(biāo)的非線性函數(shù)；GPS偽距測量中，衛(wèi)星至測站的幾何距離的觀測方程是測站點待定坐標(biāo)的非線性函數(shù)；路基沉降變形分析與預(yù)測模型中，沉降量是關(guān)于時間的非線性函數(shù)；路面模量反算的模型也是非線性函數(shù)等等。一般地，這些模型的求解均基于非線性最小二乘原理。針對工程應(yīng)用上的特點，研究非線性最小二乘問題的性質(zhì)和解算方

2、法，具有重要的理論意義和實踐價值。
　　 求解非線性最小二乘問題可能會存在不適定現(xiàn)象。不合適的原始問題的函數(shù)模型或者解算方法的選擇不當(dāng)都有可能導(dǎo)致非線性最小二乘問題的求解失敗，特別是數(shù)值迭代算法中涉及到迭代矩陣的求逆運算，而迭代矩陣的病態(tài)或奇異則會導(dǎo)致算法失敗。有必要根據(jù)不適定理論，研究非線性最小二乘的不適定現(xiàn)象，為解決非線性最小二乘在工程實際問題應(yīng)用中的局限性提供理論和方法支持。
　　 本文針對不適定非線性最小二乘問題

3、的現(xiàn)狀和存在的問題進(jìn)行了研究，主要貢獻(xiàn)有以下幾點：
　　 1.論文分析了求解非線性最小二乘問題的經(jīng)典數(shù)值迭代法，提出了求解非線性最小二乘問題的數(shù)值迭代法的統(tǒng)一模型，在此基礎(chǔ)上對非線性最小二乘問題可能產(chǎn)生的兩種不適定性進(jìn)行了分析，給出了兩種不適定性的定義。并明確指出統(tǒng)一模型中迭代矩陣的求逆運算是產(chǎn)生第一種不適定現(xiàn)象的重要原因。
　　 2.由于迭代矩陣求逆會導(dǎo)致非線性最小二乘問題產(chǎn)生第一種不適定性，研究迭代矩陣的病態(tài)判據(jù)就顯

4、得尤其重要。論文分析了非線性最小二乘數(shù)值迭代算法中迭代矩陣的特性，結(jié)合一般病態(tài)矩陣判據(jù)理論，給出了迭代矩陣的病態(tài)判據(jù)，并研究了一種新的替代矩陣，此替代矩陣可以有效的降低迭代矩陣的條件數(shù)，為后續(xù)研究相關(guān)算法提供了理論基礎(chǔ)。
　　 3.由于Landweber迭代無需矩陣求逆，避免了一般非線性最小二乘問題解算方法中由于矩陣求逆而產(chǎn)生的不適定現(xiàn)象，論文基于Landweber。迭代理論，建立了不適定非線性最小二乘的Landweber迭代算

5、法，此算法無需迭代矩陣求逆即可有效收斂。
　　 4.論文結(jié)合同倫延拓和正則化方法，構(gòu)造了一個穩(wěn)定泛函，建立了非線性最小二乘問題正則同倫解算方法，對其迭代過程進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)。在該泛函中，正則參數(shù)可同時起到同倫參數(shù)的作用。由于正則同倫參數(shù)的存在，可以根據(jù)迭代矩陣病態(tài)特點選取不同的正則同倫參數(shù)值來避免和改善迭代矩陣在迭代過程中的病態(tài)性或奇異性。
　　 5.基于Tikhonov正則化原理，通過添加穩(wěn)定泛函項，結(jié)合修正高斯一牛頓

6、法，論文還建立起Tikhonov正則化修正高斯-牛頓法，此方法可以有效改善迭代矩陣在迭代過程中的病態(tài)程度。
　　 6.通過對迭代矩陣添加一個正則化因子α來改善矩陣在迭代過程中的病態(tài)程度，論文建立了不適定非線性最小二乘問題的正則化牛頓迭代算法，給出了算法迭代步驟?；诼坊两挡此深A(yù)測模型的計算實例表明，此算法在改善迭代矩陣病態(tài)性或奇異性的同時，也較普通牛頓迭代法具有更好的擬合曲線。
　　 7.介紹了正則參數(shù)選擇策略的研究進(jìn)

7、展，并對七種正則化因子選擇方法作了簡單的介紹。論文根據(jù)不適定非線性最小二乘問題的特點，提出了直接搜索法和區(qū)間劃分法這兩種確定正則化因子的方法，此方法非常便于計算機(jī)實現(xiàn)。
　　 8.結(jié)合計算機(jī)語言，開發(fā)出了相應(yīng)的求解不適定非線性最小二乘問題算法的INLS工具箱，利用此工具箱，可以很方便的解算不適定的非線性最小二乘問題。
　　 由于不適定現(xiàn)象會導(dǎo)致非線性最小二乘問題解算失敗，為了避免其產(chǎn)生不適定現(xiàn)象，有必要認(rèn)真研究非線性最小