二次與三次隱式代數(shù)曲面沿平面截口的高光滑拼接.pdf

1、計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)的一個(gè)基本任務(wù)是曲面拼接，就是將兩個(gè)或兩個(gè)以上的曲面用一個(gè)曲面光滑拼接起來(lái)。由于功能和美觀的要求，曲面拼接在幾何設(shè)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用。二十世紀(jì)七十年代末，構(gòu)造性代數(shù)幾何有了突破性進(jìn)展后，曲面拼接問(wèn)題有了有了一系列突破性進(jìn)展。1989年J.Warren把曲面拼接問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求理想交的最低次成員問(wèn)題，有實(shí)用價(jià)值的是求拼接曲面的最低次多項(xiàng)式。1993年，吳文俊曾利用特征列方法把這類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式方程組的不可約升列的

2、計(jì)算，但仍舊計(jì)算量較大，不易實(shí)現(xiàn)。1996年，王旭超在伍鐵如工作的基礎(chǔ)上，給出了兩個(gè)二次代數(shù)曲面的三次GC1拼接的實(shí)現(xiàn)方法。近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的研制，于凱、薛長(zhǎng)虹等人利用計(jì)算機(jī)軟件解決了多個(gè)二次曲面的GC1拼接問(wèn)題，2006年李云東研究了二次曲面與三次曲面在其平面截口處三次和四次GC1拼接存在的充要條件和算法。2007年任燕飛在其碩士論文中，運(yùn)用上述方法，研究了三個(gè)二次曲面在其平面截口處的高光滑拼接。本文在前人的基礎(chǔ)上，利用計(jì)算機(jī)代

3、數(shù)方法，繼續(xù)討論了二次和三次隱式代數(shù)曲面沿平面截口的高光滑拼接問(wèn)題。如果g，h為兩個(gè)不同的不可約多項(xiàng)式，S(g)，S(h)橫截于S(g，h)，則對(duì)任意的多項(xiàng)式f，若S(f)在S(g，h)處與S(g)相切，則.f∈，于是對(duì)于二次和三次代數(shù)曲面的情況，我們就可以得到拼接曲面G滿足 G∈ ， G∈∩∩ ，即G=S1G1+T1H31=S2G2+T2H32=S3G3+T3

4、H33，其中Si，Ti的次數(shù)由Gi，Hi決定(i=1，2，3)，只要Si，Ti的形式確定，那么拼接曲面也就確定了。于是我們就將研究二次和三次曲面沿平面接口的拼接曲面的存在性轉(zhuǎn)化為求幾個(gè)多項(xiàng)式理想交的成員問(wèn)題，進(jìn)而化為齊次線性方程組的非零解的存在問(wèn)題。利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Maple給出二次與三次代數(shù)曲面沿平面截口GC2拼接的條件及結(jié)論： (1)一個(gè)二次曲面和一個(gè)三次曲面。定理1.1當(dāng)一個(gè)二次代數(shù)曲面與一個(gè)三次代數(shù)曲面作拼接時(shí)，三次G

5、C2拼接曲面存在的充要條件是其相應(yīng)的線性方程組的系數(shù)矩陣M1的秩小于7。定理1.2當(dāng)一個(gè)二次代數(shù)曲面與一個(gè)三次代數(shù)曲面作拼接時(shí)，四次GC2拼接曲面存在的充要條件是其相應(yīng)的線性方程組的系數(shù)矩陣M2的秩小于22。定理1.3當(dāng)一個(gè)二次代數(shù)曲面與一個(gè)三次代數(shù)曲面作拼接時(shí)，五次GC2拼接曲面存在的充要條件是其相應(yīng)的線性方程組的系數(shù)矩陣的秩小于50。 (2)兩個(gè)二次曲面和一個(gè)三次曲面。定理1.4當(dāng)兩個(gè)二次代數(shù)曲面與一個(gè)三次代數(shù)曲面作拼接時(shí)，

6、三次GC2拼接曲面存在的充要條件是其相應(yīng)的線性方程組的系數(shù)矩陣M3的秩小于12。定理1.5當(dāng)兩個(gè)二次代數(shù)曲面與一個(gè)三次代數(shù)曲面作拼接時(shí)，四次GC2拼接曲面存在的充要條件是其相應(yīng)的線性方程組的系數(shù)矩陣M4的秩小于36。定理1.6當(dāng)兩個(gè)二次代數(shù)曲面與一個(gè)三次代數(shù)曲面作拼接時(shí)，五次GC2拼接曲面存在的充要條件是其相應(yīng)的線性方程組的系數(shù)矩陣的秩小于80。 (3)一個(gè)二次曲面和兩個(gè)三次曲面。定理1.7當(dāng)兩個(gè)三次代數(shù)曲面與一個(gè)二次代數(shù)曲面作