用一維小波探測和反演Radon變換的奇性.pdf

1、計(jì)算機(jī)層析成像的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是Radon變換，它的重要應(yīng)用有醫(yī)學(xué)CT、工業(yè)CT和地球物理反演等.在實(shí)際應(yīng)用中，人們關(guān)心的往往是函數(shù)圖像發(fā)生重大改變的地方，如兩種人體組織的交界處、地球物理反演兩種介質(zhì)的交界面等.因?yàn)閳D像的不規(guī)則的突變部分(峰變處)通常包含了其本質(zhì)的信息.例如圖像亮度的不連續(xù)性表示景物中含有邊緣；在心電圖或雷達(dá)信號中，令人感興趣的信息包含在信號的峰變處.函數(shù)f(x，y)的Radon變換的反演是已知f(x，y)的Radon變換，

2、求f(x，y).有時，由于整個反演f(x，y)需要處理的數(shù)據(jù)量比較大，或者所需數(shù)據(jù)不完全時，反演f(x，y)就較困難.從文獻(xiàn)[5，7，20]可知，奇性反演所需的數(shù)據(jù)量不是很大，只和函數(shù)圖像發(fā)生奇性附近的投影數(shù)據(jù)有關(guān).Radon變換的精確反演只是對光滑的函數(shù)是有效的，所以對圖像函數(shù)發(fā)生奇性的地方要特別關(guān)注，需要研究它的Radon變換的奇性傳播和奇性反演.A.G.Ramm對古典Radon變換對函數(shù)在它的支集的邊界上恒大于零，且僅在支集的邊界

3、上有跳躍奇性時給出Radon變換的奇性和函數(shù)奇性的關(guān)系.而實(shí)際應(yīng)用中，奇性不一定發(fā)生在邊界.在3.1節(jié)給出了在二維空間中，一類分片光滑函數(shù)在支集內(nèi)部有跳躍奇性時Radon變換的奇性和函數(shù)奇性的關(guān)系，采用了對函數(shù)作光滑延拓的方法.證明了如果直線lpω和函數(shù)f(x，y)的產(chǎn)生跳躍奇性的曲線段集合Γ中的任意一條曲線段相切，那么函數(shù)f(x，y)的Radon變換Rf(p，ω)在p=-p附近是Lipschitz-1/2次奇性的.如果線lpω和函數(shù)f

4、(x，y)的產(chǎn)生跳躍奇性的曲線段集合Γ中的任意一條曲線段都不相切，那么函數(shù)f(x，y)的Radon變換Rf(p，ω)∈C∞；反之，如果函數(shù)f(x，y)的Radon變換Rf(p，ω)在p=-p附近是Lipschitz-1/2次奇性的，那么函數(shù)f(x，y)在其奇性曲線段上就是跳躍奇性的. 圖象重建問題，它的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)是Radon變換及其逆變換，它已經(jīng)獨(dú)立地出現(xiàn)在醫(yī)學(xué)、工程等很多科學(xué)領(lǐng)域，而奇異性的大小和圖像邊緣的檢測是圖象重建的重

5、要部分.長期以來，F(xiàn)ourier變換是研究函數(shù)奇異性的主要工具，但它缺乏空間局部性，只能確定函數(shù)奇異性的整體性質(zhì)，而難以確定各奇異點(diǎn)的位置及分布情況.也就是說，當(dāng)函數(shù)有許多奇異點(diǎn)時，用Fourier變換難以確定各奇異點(diǎn)的位置及奇性的強(qiáng)弱.而小波變換可以聚焦于信號的局部結(jié)構(gòu)，因此小波變換可以給出函數(shù)在一個區(qū)間甚至一個點(diǎn)處的Lipschitz正則性.圖像的奇異性往往發(fā)生在分片光滑的奇性曲線上，對于一類分片光滑的圖像函數(shù)，我們研究用一維小波變

6、換檢測圖像的邊緣和確定函數(shù)圖像的發(fā)生奇性地方的Lipschitz指數(shù)的大小，這是本文的一個創(chuàng)新點(diǎn).證明了用一維小波沿互相垂直的兩個方向?qū)瘮?shù)圖像進(jìn)行邊緣檢測，也有二維小波變換檢測圖像邊緣的理論結(jié)果.函數(shù)f(x，y)在一致Lipschitz-α區(qū)間內(nèi)，其關(guān)于變量y的一維小波變換|Wfx(u，s)|是與sa+1/2同級衰減的. 根據(jù)函數(shù)的Radon變換的奇性和原函數(shù)奇性之間的對偶關(guān)系，3.2節(jié)用一維小波變換檢測投影數(shù)據(jù)的奇性，即原函

7、數(shù)的Radon變換的奇性.再根據(jù)Legendre變換的對合變換性質(zhì)，用Legendre變換反演原函數(shù)的奇性.Legendre變換的數(shù)值實(shí)現(xiàn)用的是中間插值的方法. 在應(yīng)用實(shí)現(xiàn)部分給出了圖像重建中廣泛使用的Shcpp-Logan頭部圖像的邊緣檢測結(jié)果.分別給出了Shepp-Logan頭部圖像的π/4到3π/4角度范圍內(nèi)的Radon變換的圖像，用一維小波變換檢測到的Radon變換的奇性曲線的圖像，還有最終根據(jù)Radon變換的奇性曲線反

8、演出的Shepp-Logan頭部圖像的邊緣曲線. 本文在第四章還研究了分片光滑函數(shù)在其支集內(nèi)部有跳躍奇性時，沿上半圓曲線lrξRadon變換的奇性和原函數(shù)奇性的關(guān)系，如果上半圓曲線lrξ和函數(shù)f(x，y)的產(chǎn)生跳躍奇性的曲線段集合Γ中的任意一條曲線段相切，那么函數(shù)f(x，y)的Radon變換Rf(r，ξ)在r=-r附近是Lipschitz-1/2次奇性的.如果上半圓曲線lrξ和函數(shù)f(x，y)的產(chǎn)生跳躍奇性的曲線段集合Γ中的任意